Петраков С.Н. Механизмы планирования в активных системах - неманипулируемость и множества диктаторства. М., 2001. 135 с

Пусть i таково, что s1i = 0

и si1 > si2 , то есть i Î(Z I L) , тогда при

любом

t Î(0,1],

si (t) < 0 .

Аналогично

"t Î (0,1], "i Î (O I R) ® si (t) > 1.

Для всех t Î (0,α)

верны следующие оценки

"i Î A(ρ1) ® s (t) £ s1 +

min(ε,1)

×

s1

- s2

£ s1

+ ε < 0 ,

i

i

max

si1 - si2

i

i

i

i I

"i Î M (ρ1) ® s (t) > s1 - ε > 0 ,

i

i

min(ε,1)

"i Î(Z I R) ® 0 < s (t) £ 0 +

×

s1

- s2

£ min(ε,1) £1,

i

max

si1

- si2

i

i

"i Î(O I L) ®1 > si (t) ³ 0 ,

i I

"i Î(O I E) ® si (t) = 1,

"i Î(Z I E) ® si (t) = 0 .

Тогда "t Î (0,α) ® s(t)Î Sρ~ .

Q. E. D.

Доказательство: Пусть есть два вектора

ρ1, ρ 2 Îâ и пусть существует

j Î A(ρ1)

такой,

что

j Ï A(ρ2 ) ,

тогда

j ÎC(ρ2 )

либо

j ÎM(ρ2) . Но

j Î M (ρ2)

невозможно, так как из того,

что [s1, s2 ] Ì Qρ1 следует, что

[s1, s2 ] Ì Qρ 2 ,

что s j (t) = 1, t Î[0,1] .

j ÎC(ρ

2

~

такой,

что

~

2

) U{ j} ,

) . Рассмотрим вектор ρ

A(ρ) = A(ρ

~

(ρ

2

~

2

1

2

] Ì Qρ 2 , то

M (ρ) = M

) , C(ρ) = C(ρ

) \ { j}. Так как [s , s

[s1 , s2 ] {s Î Rn : s

2

)

Î R

C(ρ 2 )

, s

2

)

= sρ 2

2

)

} =

C(ρ

−C(ρ

−C(ρ

n

~

1

ρ

2

= {s Î R

: sC(ρ) Î R

C(ρ)

, s j

Î R , s−C(ρ 2 ) = s−C(ρ 2 )} =

~

~

~

= {s Î Rn

: s

~

Î R

C(ρ)

, s

j

Î R1, s

~

= sρ

~

} .

C(ρ )

−C(ρ )\{ j}

−C(ρ )\{ j}

Из того, что

~

s j (t) = 0 . Тогда

1

2

] Qρ~ .

j Î A(ρ) следует, что

[s , s

Но

~

>

- C(ρ

2

)

, в то время, как

ρ

2

Î Argmax

- C(ρ)

. Получили

- C(ρ)

~

ρ

одного элемента.

Q. E. D.

для любых s Î Rn .

Лемма 3.2.1. G (s)

не убывает по s

i

i

Доказательство: Рассмотрим произвольные вектор

s Î Rn

и АЭ i I .

Существует единственный вектор состояний

ρ ÎÃn

такой, что s Î Sρ .

Если i ÎC(ρ) то

G (s) = g

(sρ

,s

) .

Рассмотрим произвольный

i

i

−C(ρ)

C(ρ)

si¢ Î R1 .

Если

si £ si¢ £1,

то

Gi (si¢, s−i ) = gi (s−ρC(ρ), sC(ρ)\{i}, si¢) ³ Gi (s) = gi (s−ρC(ρ), sC(ρ))

так как g(s)

частично монотонна. При

si¢ >1,

вектор

(si¢, s−i ) принадлежит Sρ′ , где

вектор ρ

¢

¢

¢

¢

таков, что C(ρ ) = C(ρ)

\{i} , M (ρ ) = M (ρ) U{i},

A(ρ ) = A(ρ) .

При

таких

si¢

Gi (si¢, s−i ) = gi (s−ρC(ρ), sC(ρ)\{i},1) + (si¢ -1) > Gi (s) = gi (s−ρC(ρ), sC(ρ)) .

Аналогично доказывается, что Gi (si¢, s−i ) £ Gi (s)

при si¢ £ si .

Если i C(ρ) , то без потери общности положим i Î M (ρ) . Из

i Î M (ρ)

следует, что si

>1. Если si¢ > si , то Gi (si¢, s−i ) - Gi (s) = si¢ - si

> 0 .

Если si

> si′ > 1, то

Gi (si¢, s−i ) - Gi (s) = si¢ - si

< 0 .

Поэтому, при

si¢ >1

функция Gi (s)

не убывает.

Если

si¢ Î[0,1],

то (si′, s−i )Ï Sρ′ , где

ρ¢

определяется так,

что

¢

\{i},

¢

¢

При

этом

M (ρ ) = M (ρ)

C(ρ ) = C(ρ) U{i} ,

A(ρ ) = A(ρ) .

Gi (si, s−i ) =

= gi (s−ρC(ρ), sC(ρ)\{i},1) + (si -1) > Gi (si¢, s−i ) = gi (s−ρC(ρ)\{i}, sC(ρ), si¢) .

Если

si¢ < 0 ,

то

(si′, s−i )Ï Sρ′ ,

где ρ¢

определяется так,

что

¢

¢

(ρ) U{i} ,

¢

предыдущего

M (ρ ) = M (ρ)

\{i}, C(ρ ) = C

A(ρ ) = A(ρ) . Из

пункта G (s) > g

(sρ

, s

, 0) > g

(sρ

, s

ρ)

, 0) + s′ − 0 = G (s′, s

−i

) .

i

i

−C(ρ)\{i}

C(ρ)

i

−C(ρ)\{i}

C(

i

i i

Таким образом, G(s)

частично монотонна во всем Rn .

Лемма 3.2.2. G(s) непрерывна в Rn .

Q. E. D.

Доказательство: Обозначим

C(ρ)

= {ρ Î Rn : s

Î[0,1]

, s

³ sρ

, s £ s A

} ,

где

S

ρ

M (

ρ)

C(ρ)

M (ρ)

A(ρ)

запись

s

M (ρ)

³ s

ρ

означает

"i Î M (ρ), s ³ sρ ,

аналогично

M (ρ)

i

i

s

A(ρ)

£ s

ρ

означает "i Î M (ρ), s

£ sρ .

A(ρ)

i

i

Функции

s

- sρ

и

g(s

, sρ

)

непрерывны

в

.

−C(ρ)

ρ)

S

ρ

−C(ρ)

C(

−C(ρ)

Тогда G(s)

непрерывна как суперпозиция непрерывных функций.

Рассмотрим произвольный

s Î Rn . Из утверждения 3.2.2. найдется

Ã0 ÍÃ и

ε0 > 0 такие, что

"ε Î(0, ε0 )

и

"ρ ÎÃ0 ®Uε (s) I Sρ ¹ Æ и

"ρ ÎÃ0 ®Uε (s) I Sρ = Æ .

Положим

εk

= min(ε0,1 k), k = N .

При таком

определении

εk ,

"εk > 0, "ρ ÎÃ0 ®Uε (s) I Sρ ¹ Æ ,

то выберем

для

каждого

ρ ÎÃ0

последовательность

sk, ρ

такую,

что

sk, ρ U

εk

(s) I S

ρ

. Так

как

sk, ρ ® s

при

k → ∞

и

для

всех

ρ , sk, ρ S

ρ

,

то

0

sk, ρ

> sρ

, sk, ρ

> sρ

, sk, ρ

Î[0,1]

C(ρ)

.

M (ρ)

M (ρ)

A(ρ)

A(ρ)

C(ρ)

По

свойствам

предельных

переходов

sM (ρ)

³ sMρ (ρ), sA(ρ) £ sAρ(ρ) ,

s

Î[0,1]

C(ρ)

. То есть s Î

, "ρ ÎÃ .

C(ρ)

S

ρ

0

В силу непрерывности G(s)

на

ρ

можно

S

"ρ ÎÃ0 , "ε Î(0, ε0 ) $ε Î(0, ε0 ) $δ (ρ) > 0 :"s¢ÎUδ (ρ) (s) I

ρ ®

S

Положим δ = min δ ρ . Так как {Sρ }ρn

→

G(s) − G(s′)

< ε .

образует разбиение Rn , можно

ρ0

записать

U(Uε (s) I Sρ ) =Uε (s) .

Из

утверждения

3.2.2

ρn

"ρ ÏÃ0 , "ε Î(0, ε0 ),Uε (s) I Sρ = Æ , то

U(Uδ (s) I

ρ ) = Uδ (s) .

S

ρ0

¢

ÎUδ (s) ®

¢

< ε .

"ε Î (0, ε0 ) $δ > 0 :"s

G(s) - G(s )

Q. E. D.

такое,

что "i Î I,

ri

< L . В силу

непрерывности

g(s) ограничена и

M >

0 : i I , "s Î S,

gi (s)

< M .

Обозначим

L0 = max(L, M ) +1 3 .

Определим следующие множества

∂W = {s Î Rn :$K Í I :Æ Ì K(s) Í I, "i Î K,

s

= 3L, "i Î I \ K,

s

< 3L} .

i

i

Возьмем произвольный s ∂Ω . Для этого s существует ρ ÎÃn

такой, что

s Î Sρ .

Рассмотрим

некоторый

АЭ

j Î K(s) ,

тогда

s j

= 3L0 .

Предположим, что s j

= 3L0 , тогда

G j (s) = 3L0 − sρj

+ g j (sC(ρ), s−ρC(ρ)) > 3L0 −1 − 2M = 3max(L,M ) +1−1− 2M >

> max( L, M ) > L > rj .

Аналогично получим оценку G j (s) < -L < rj

при

s j = −3L0 .

Таким

образом

для

любого

s ∂Ω

найдется

jÎI

такой,

что

sign(Gj

- rj ) = sign(s j

- 0) ¹ 0 , так как L0 > 0 , и векторные поля G(s) - r

и s - 0

направлены не противоположно на

∂Ω . При этом для любого

s ∂Ω

существует jÎI такой, что

G j (s) - rj ¹ 0

и s j

¹ 0 . Из того, что

векторные поля на ∂Ω в ноль не

обращаются

и не

противоположно

Доказательство:

В

силу

того,

что

рассматриваемое

отображение

g : S ® Rn

удовлетворяет

условиям

леммы

3.2.3,

"r Î Rn $s Î Rn :G(s) = r .

Тогда

ρ n : s Sρ .

Рассмотрим

вектор

s* = (s

, sρ

) и получим следующие результаты:

C(ρ)

−C(ρ)

r

= G

(s) = G

(s

, s

−C(ρ)

) = g

C(ρ)

(s

, sρ

) = g

C(ρ)

(s

(r)) ,

C(ρ)

C(ρ)

C(ρ)

C(ρ)

C(ρ)

−C(ρ)

r

= G

M (ρ)

(s) = g

M (ρ)

(s

ρ)

, s

ρ

) + s

− sρ

> g

M (ρ)

(s

, s

ρ

) =

M (ρ)

C(

−C(ρ)

M (ρ)

M (ρ)

C(ρ)

−C(ρ)

= gM (ρ) (s (r)),

r

< g

A(ρ)

(s (r)) .

A(ρ)

Пусть i Î A(ρ) , тогда

r Î g(s (r)) . При этом

sρ = s =1

и в силу

i

i

i

частичной монотонности для любых

s

i

Î[0,1],

g

(s , s

) £ g(s ) < r . Из