Из теоремы Банаха-Штейнгауза (см. стр. 160, теорема 3.3.2) следует, что
supfkT kj 2 Ig < 1:
Но в силу равенства (3.62)
kT k = supfj < f j x > j j kf j B?k 1g = kx k;
что и доказывает нашу теорему.
Теорема 3.4.5. Пусть fT j 2 Ig L(B1 7!B2) -семейство линейных непрерывных отображений банахова пространства B1 в банахово пространство B2. Следующие условия эвивалентны:
1: supfkT j L(B1 7!B2)k j 2 Ig < 1: |
(3.64) |
2: 8(x 2 |
B1) : supfkT (x) j B2k j 2 Ig < 1: |
(3.65) |
3: 8(x 2 |
B1 ; f 2 B2?) : supfj < f j T (x) > j 2 Ig < 1: |
(3.66) |
Доказательство. Ясно, что из (3.64) следует (3.65), а из (3.65) следует (3.66). В силу теоремы 3.4.4 из (3.66) следует, что
8(x 2 B1) : supfkT (x)k j 2 Ig < 1;
позтому из (3.66) следует (3.65). Неравенство (3.64) следует из (3.65) в силу теоремы Банаха-Штейнгауза.
Теорема доказана.
Говорят, что последовательность операторов Tn 2 L(B1 7!B2) ñõî-
дится к оператору T0 2 L(B1 7!B2):
в равномерной операторной топологии, если
kTn T0 j L(B1 7!B2)k ! 0 ; n ! 1;
в сильной операторной топологии, если
8(x 2 B1) : kTnx T0x j B2k ! 0 ; n ! 1;
в слабой операторной топологии, если
8(x 2 B1 ; f 2 B2?) : f(Tn(x)) ! f(T0(x)) ; n ! 1:
Из теоремы 3.4.5 следует, что из сходимости последовательности операторов Tn в слабой операторной топологии следует равномерная по n ограниченность норм операторов Tn.