FA Арсеньев Функ.Ан

x(j)<x

-функция скачков, а

Z x

\

Fac(x) = !(t) dt ; Fsing(x) = ([a ; x) B); (1.190)

a

где !(t) -неотрицательная интегрируемая по Лебегу функция, борелевская мера на отрезке [a ; b] ; B -множество лебеговой меры ноль.

Заметим, что для функции Кантора отлична от нуля только составляющая Fsing.

Разложение (1.189) также называется разложением Лебега . Очевидно, что мера, порожденная неубывающей функцией F (x) íà

отрезке [a ; b] абсолютно непрерывна относительно меры Лебега в том и только том случае, если

Z x

Fd = Fsing 0 è F (x) = F (a) + f(t)dt ; f(t) 2 L([a ; b]):

a

Теорема 1.2.16. Если функция f интегрируема: f 2 L([a ; b]), то для любого > 0 существует такое ( ) > 0, что для любого множества

Доказательство. Согласно лемме 1.1.12 (см. стр. 28) для данного > 0 и данной функции f 2 L([a ; b]) существует такая непрерывная функция

2 C([a ; b]), ÷òî

Z b

jf(x) (x)jdx < =2:

a

Пусть

M = supfj (x)j j x 2 [a ; b]g:

Тогда (напомним, что jAj -это мера Лебега множества A)

Z Z Z

8(jAj < =2M) : jf(x)jdx < jf(x) (x)jdx + j (x)jdx <

A A A

=2 + MjAj < :

Теорема доказана.

89

Следствие 1.2.4. Если f(t) 2 L([a ; b]), то функция

Z x

F (x) = f(t)dt

a

абсолютно непрерывна на отрезке [a ; b].

Для любого множества E [a ; b] можно определить внешнюю меру:

jEjout = inffjAj j E Ag:

Если множество E измеримо по Лебегу, то его внешняя мера равна мере Лебега. Отметим очевидное неравенство

[

jA Bjout jAjout + jBjout:

Определение 1.2.21. Система отрезков

S0 = fI j I = [a ; b ] [a ; b]g

покрывает в смысле Витали множество E [a ; b], если выполнены условия:

[\

1: E I ; 8 : E I 6= ;:

2: 8(x 2 E ; > 0) ; 9(I(x ; ) 2 S0) : x 2 I(x ; ) ; 0 < jI(x ; )j < :

Теорема 1.2.17. Если система отрезков S0 покрывает в смысле Ви- тали множество E, то она содержит такую не более чем счетную подсистему

90

Доказательство. Пусть

a0 = supfjI j j I 2 S0g:

По определению точной верхней грани система S0 содержит такой отре- çîê I1, который удовлетворяет условию:

1 jI1j > 2a0:

Положим

\

S2 = fI j I I2 = ;g

и продолжим этот процесс по индукции. Так мы получим, что либо на некоторм шаге

[\

либо мы получим счетное множество отрезков fIj j 1 j < 1g è ñ÷åò-

ное множество fSj j 1 j < 1g подсемейств семейства S0, которые удовлетворяют условиям:

91

то по условию

Так как отрезки Ij не пересекаются, то

X

jIjj b a

1 j<1

поэтому

lim jIjj = 0:

j!1

Но отсюда в силу (1.192) следует, что

Каждому отрезку Ij = [ j ; j] поставим в соответствие отрезок Tj =

[3 j 2 j ; 3 j 2 j] [ j ; j]. Вообще говоря, Tj 62S0. Èç (1.193) следует, что

92

Если выполнены условия теоремы 1.2.17, то найдутся такие удовлетворяющие условиям теоремы 1.2.17 отрезки Ij, ÷òî

Пусть

жеств и открыто. Поэтому множество

борелевское и, следовательно, измеримо. Если

x 2 E(f j );

то существует такая последовательность fhj(x) j 1 j < 1g, ÷òî x + hj(x) 2 (a ; b) ; 8j : jhj 1(x)(F (x + hj(x)) F (x))j > :

Следовательно, отрезки

Ij(x) = f[x jhj(x)j ; x + jhj(x)j] j x 2 (a ; b) ; 1 j < 1g

93

покрывают в смысле Витали множество E(f j ). Пусть fIj(xj) j 1 j n( )g -такие отрезки из этого покрытия, что

Так как отрезки Ij(xj) не пересекаются, то

Следовательно,

Z b

2jf(t)jdt > (1 ) jE(f j ):

a

Так как произвольное малое положителельное число, то теорема доказана.

Теорема 1.2.19. Åñëè f 2 L([a ; b]) è

Z x

F (x) := f(t)dt;

a

то функция F почти всюду дифференцируема и

ï.â. : dF (x) = f(x): dx

Доказательство. Будем считать, что

Z b

jf(t)jdt = 1:

a

Из леммы 1.1.12 следует, что существует такая последовательность непрерывных функций f ng C([a ; b]),÷òî

Z b

8n : jf(t) n(t)jdt < n 4:

a

Положим

n(x) = f(x) n(x);

An = fx j M( n j x) > n 2g; Bn = fx j j n(x)j > n 2g:

94

Из теоремы 1.2.18 следует, что множество An измеримо и

Z b

jAnj < n22 j n(t)jdt < 2n 2:

a

Из неравенства Чебышева (см. стр. 66) следует, что

Z b

jBnj < n2 j n(t)jdt < n 2:

a

O(1=k) ! 0 ; k ! 1:

Следовательно, jQj = 0. Пусть

x 2 E = [a ; b] n Q:

Тогда

95

Наконец заметим, что так как функции n(x) непрерывны, то

j n(x) f(x)j < n 2 + + n 2;

åñëè

0 < jhj < min( 1(n ; ) ; 2(n ; ; x)):

Òàê êàê n -произвольное достаточно большое число, а -произвольное достаточно малое число, то теорема доказана.

Следствие 1.2.6. Абсолютно непрерывная функция дифференцируема почти всюду.

96

1.3Коментарии и литературные указания.

Мы предполагаем, что читатель знаком с теорией множеств в объеме курса анализа для технических вузов или нескольких первых глав книг [1, 2]. Для дальнейшего ознакомления с теорией множеств можно рекомендовать книгу [3].

Для большинства рассматриваемых нами приложений достаточно знания следующих тем: определение интеграла, теорема Лебега о предельном переходе в интеграле , теорема Рисса-Фишера о полноте простран- ñòâà Lp, неравенства Гельдера и Минковского. Эти темы изложены в

параграфе, посвященном интегралу Лебега. Изучением этого параграфа можно ограничиться при первом чтении. Однако знание теории меры необходимо для изучения математических моделей теории рассеяния, теории теплового равновесия классических и квантовых систем, теории неравновесных квантовых систем, броуновского движения и многих других задач математической физики, поэтому мы считаем, что знакомство с основами теории меры желательно для специалиста по математической физике.

Анализ метода Даниэля в теории интеграла есть в [5], стр. 459-461. При обсуждении затронутых нами элементарных вопросов теории интеграла нет принципиальной разницы между методом Даниэля, когда сна- чала вводится интеграл, а потом мера, и традиционным методом, когда сначала вводится мера, а потом интеграл. Ясно, что задание системы

подмножеств множества X эквивалентно заданию характеристических

функций этих подмножеств, а задание меры на системе подмножеств эквивалентно заданию элементарного интеграла на множестве характеристических функций.

Понятие интеграла распространяется на функции со значениями в банаховом пространстве.

Пусть -компактное топологическое пространство, B -рефлексивное банахово пространство,

x: 3 ! 7!x(!) 2 B

-непрерывная функция со значениями в B. Åñëè f? 2 B?, то функция

3 ! 7!f?(x(!))

непрерывна на , и определен интеграл

Z

f?(x(!)) (d!):

97

При фиксированной функции x(!) 2 C( ) отображение

Z

B? 3 f? 7! f?(x(!)) (d!)

есть линейный непрерывный функционал на B?, и в силу рефлексивно- ñòè B существует такой элемент J(x) 2 B, ÷òî

и называем функционал J(x) интегралом от функции x(!).

Заметим, что иногда интеграл можно определить и как предел интегральных сумм Римана.

При рассмотрении интеграла по бесконечной области мы не вводим условие Стоуна (см. [5]), а опираемся на конструкцию, которая является обобщением понятия кратного несобственного интеграла Римана.

Дальнейшие сведения о теории меры и интеграла можно почерпнуть из следующих работ.

[4]-[5]. Эти книги содержат (насколько я могу судить) на сегодняшний день наиболее полное и доступное изложение теории меры и интеграла.

[6]Эта книга почти полвека была настольной книгой всех математиков и по-прежнему является классическим руководством по теории меры.

[7]В этой книге есть изложение теории интеграла и меры по Даниэлю. Наше изложение следует этой книге.

[8]Эта книга содержит краткое и ясное изложение теории меры и интеграла Лебега. В книге показано, как теория меры и интеграла применыется в теории функций действительной переменной.

[9]Это классическое руководство по теории меры и интеграла, которое приспособлено для нужд теории вероятности.

[10]Это просто и понятно написанная книга, которая также приспособлена к нуждам теории вероятности. Наше изложение теоремы РадонаНикодима основано на материалах этой книги.

[11]В этой книге содержатся обобщения теории меры, о которых в нашем изложении мы не смогли даже упомянуть, но которые получи- ли в последнее время широкое применение при анализе стохастических динамических систем (теория фрактальных множеств и т.д.)

98