Построение опорных планов

 

 Рассмотрим каноническую форму задачи линейного программирования

(1)

при ограничениях

; .

 Пусть .Предположим, что система ограничений  содержитm - единичных векторов. Пусть это первые  n - векторов, тогда:

  (2)

                             (3)

Запишем систему (2) в векторной форме

 (4)

, , …,.

Векторы - единичные, линейно независимые векторыm - мерного пространства, они образуют базис. В (4) за базисные неизвестные выберем. Свободные неизвестныеприравниваем нулю и учитывая, что(где), а векторы- единичные. Получим первоначальный план(5).

Плану (5) соответствует разложение (6), так как- линейно независимые, то первоначальный план является и опорным.

Рассмотрим, как исходя из  опорного плана (5) можно построить другой опорный план - базис, поэтому. Предположим, что для некоторого вектора, не входящего в базис, например для, является положительным хотя бы один из коэффициентов, входящих в разложение(7). Зададимся величиной, пока неизвестной, умножим (7) наи почленно вычислим из (6),получаем

  вектор 

 

 является планом, если его компоненты положительны. (9).

Из (9) следует, что ,план, если(10).

Чтобы план был опорным должно быть m - положительных компонентов.

Необходимо обратить в нуль хотя бы одну из компонентов 

 (11).

Отыскание оптимального плана Условия оптимальности

Предположим, что задача линейного программирования   (1) - (3) обладает планами и каждый ее опорный план невырожден. В этом случае для опорного плана (5) имеем  (12)(13), где- это значение линейной формы, соответствующее плану. Разложение любого векторапо векторам базиса- единственно.

 (14)

    (15)

Теорема (для задачи на min): Если для некоторого вектора выполняются условия, то планне является оптимальным и можно построить такой планX:  .

Доказательство:

Умножим равенство (14) на и вычтим из равенства (12), получаем.

Умножим равенство (15) на и вычтим из равенства (13), получаем

 (16).

Следствие: Если для некоторого плана разложение всех векторовв данном базисе, удовлетворяющих условию(17), то планявляется оптимальным. Неравенство (17) это условие оптимальности задачи на минимум, а величины- оценки плана.

Теорема (для задачи на max): Если для некоторого вектора выполняются условия, то планне является оптимальным и можно построить такой планX:  .

Следствие: Если для некоторого плана разложение всех векторовв данном базисе, удовлетворяющих условию(18), то планявляется оптимальным. Неравенство (18) это условие оптимальности задачи на минимум, а величины- оценки плана.

 - формула Жордана-Гаусса.

Метод искусственного базиса

при ограничениях

.

Рассмотрим расширенную задачу

при ограничениях

  

  ,

где m - достаточно большое положительное число. - базис (искусственный). Применение симплексного метода к расширенной задаче обеспечивает построение плана, в котором каждая из искусственных переменных, если же первоначальная задача не обладает планами, то решение расширенной задачи будет содержать, по крайней мере, одно.

Пример решения задачи линейного программирования симплексным методом

Задача.  Для изготовления различных изделий A и B используется 2 вида сырья. На производство единицы изделия A его требуется затратить: 1-го вида -15кг, 2-го вида - 11кг, 3-го вида - 9кг. На производство единицы изделия B требуется затратить сырья 1-го вида - 4кг, 2-го вида - 5кг, 3-го вида - 10кг.

Производство обеспечено сырьем 1-го вида в количестве 1095кг, 2-го вида - 865кг, 3-го вида -1080кг.

Прибыль от реализации единицы готового изделия А составляет 3 рубля, изделия B - 2 рубля. Составить план производства изделий А и В, обеспечивающий максимальную прибыль от их реализации.

Решение. Составим задачу линейного программирования

                                    при ограничениях

Приведем к канонической форме

                                  при ограничениях 

Первоначальный опорный план принимает вид   X₀ = ( 0, 0, 1095, 865, 1080 )

Для получения оптимального плана составим таблицу

 

№ итерации	базисные переменные	Сб	С1= − 3	С2= − 2	С3= 0	С4= 0	С5= 0	A0	Σ	ai0/aik
			x1	x2	x3	x4	x5
0	x3	0	15	4	1	0	0	1095	1115	73*
	x4	0	11	5	0	1	0	865	882	78
	x5	0	9	10	0	0	1	1080	1100	120
Δj = Zj -Cj			3**	2	0	0	0
I	x1	− 3	1	0,26	0,06	0	0	73	74,33	27,75
	x4	0	0	2,06	−0,73	1	0	62	64,3	30*
	x5	0	0	7,6	−0,6	0	1	423	431	55
Δj = Zj -Cj			0	0,24**	−0,2	0	0	− 219	− 218
II	x1	− 3	1	0	0,16	− 0,13	0	65	660,32
	x2	− 2	0	1	− 0,35	0,48	0	30	31,13
	x5	0	0	0	2,1	− 3,68	1	195	194,4	*
Δj = Zj -Cj			0	0	0,22**	− 0,58	0	− 255	− 255,35
III	x1	− 3	1	0	0	0,15	− 0,08	50	51,7
	x2	− 2	0	1	0	− 0,14	0,17	63	64,03
	x3	0	0	0	1	− 1,75	0,48	93	92,72
Δj = Zj -Cj			0	0	0	− 0,18	− 0,1	− 276	− 276,29

* разрешающая строка ;** разрешающий столбец

Опорные планы X₁ = ( 73, 0, 0, 62, 423 ), X₂ = ( 65, 30, 0, 0, 195 ) − не оптимальные.

Опорный план X₃ = (50, 63, 93 ) оптимальный.

при X₀ = ( 0, 0, 1095, 865, 1080 ),  Z(X₀) = 0

при X₁ = ( 73, 0, 0, 62, 423 ),   Z(X₁) = − 219

при X₂ = ( 65, 30, 0, 0, 195 ),   Z(X₂) = − 255

при X₃ = (50, 63, 93) ,   Z(X₃) =Z(X_min) =Z(X^*) = − 276

4. Геометрический метод решение задач ЛП

Задача 1. При откорме каждое животное должно получить не менее 14 ед.питательного вещества S1, не менее 15 ед. вещества S2 и не менее 10 вещества S3. Для составления рациона используют два вида корма. Содержание количества единиц питательных веществ в 1 килограмме каждого вида корма и стоимость одного килограмма корма дана в таблице 1.

Таблица 1

Питательные вещества	Количество единиц питательных веществ в 1 кг.корма
	корм 1	корм 2
S1	1	2
S2	1	3
S3	2	1
Стоимость 1 кг.корма	3	7

Составить рацион минимальной стоимости.

Решение:

X1 + 2X2 ≥ 14

X1 + 3X2 ≥ 15

2X1 + X2 ≥ 10

X1, X2 ≥ 0

3X1 + 7 X2 → min

X1 + 2X2 = 14

X1 + 3X2 =15

2X1 + X2 = 10

5. Симплексный метод решения задач ЛП

Задача 2. Для изготовления 4-ёх видов продукции P1, P2, P3, P4 используют два вида сырья: S1 и S2. Запасы сырья, количество единиц сырья, затрачиваемых на изготовление единицы продукции, а так же величина прибыли, получаемая от реализации единицы продукции, приведены в таблице 2.

Таблица 2.

Вид сырья	Запас сырья	Количество единиц сырья, идущих на изготовление единицы продукции
		P1		P2		P3		P4
S1	3	1		1		1		2
S2	7	1		2		3		1
Прибыль от единицы продукции			9		14		15		10

Составить план производства, обеспечивающий получений максимальной прибыли.

Решение:

1. Формальная постановка задачи имеет следующий вид:

9X1 + 14X2 + 15 X3 + 10X4 → max

X1 + X2 + X3 + 2X4 ≤ 3

X1 + 2X2 + 3X3 + X4 ≤ 7

X1, X2, X3, X4 ≥ 0

2. Приведем к стандартной (канонической) форме:

F = 9X1 + 14X2 +15X3 + 10X4 + 0X5 + 0X6

X1 + X2 + X3 + 2X4 + X5 = 3

X1 + 2X2 +3X3 + X4 + X6 = 7

X1, X2, X3, X4 ≥ 0

3. Запишем систему ограничений в векторной форме:

X1 (1/1) + X2 (1/2) + X3 (1/3) + X4 (2/1) + X5 (1/0) + X6 (0/1) = (3/7)

P1 P2 P3 P4 P5 P6 P0

P5, P6 - базисные

4. Запишем первоначальный опорный план:

Х0 (0, 0, 0, 0, 3,7), F0 = 9*0 + 14*0 +15*0 +10*0 + 0*3 +0*7 = 0

Составим соответствующую плану 1 симплексную таблицу:

Базис	Сб	Р0	Р1	Р2	Р3	Р4	Р5	Р6
			9	14	15	10	0	0
Р5	0	3	1	1	1	2	1	0
Р6	0	7	1	2	3	1	0	1
			-9	-14	-15	-10	0	0

Вычислим оценки:

∆ = (Сб*А) - С

∆1 = (0 *1 + 0*1) - 9 = - 9; ∆2 = (0 *1 + 0*2) - 14 = - 14; ∆3 = (0 *1 + 0*3) - 15 = - 15; ∆4 = (0 *2 + 0*1) - 10 = - 10; ∆5 = (0 *1 + 0*0) - 0 = 0; ∆6 = (0 *0 + 0*1) - 0 = 0

Критерием оптимальности является условие, что все ∆ ≥ 0, т.к. это не так, решение не оптимально.

Выберем вектор, который будем включать в базис:

min1 = (3/1; 7/1) = 3; min2 = (3/1; 7/2) =3; min3 = (3/1; 7/3) = 2 1/3; min4 = (3/2; 7/1) = 1 1/2,

теперь посмотрим соотношение min c ∆:

∆f = - ∆*min

∆f 1 = - (-9) *3 = 27; ∆f 2 = - (-14) *3 = 42; ∆f 3 = - (-15) *2 1/3 = 34.95; ∆f 4 = - (-10) *1 1/2 = 15,

Отсюда следует, что менять будем Р5 на Р2.

5. Составим 2 симплексную таблицу:

Базис	Сб	Р0	Р1	Р2	Р3	Р4	Р5		Р6
			9	14	15	10	0		0
Р2	14	3	1	1	1	2	1		0
Р6	0	1	-1	0	1	-1	-1		1
			5	0	-1	4		14		0

7- (3*2) /1 = 1; 1 - (1*2) /1 = - 1; 3 - (2*1) /1 = 1; 1- (2*1) /1 = - 1; 0- (1*1) /1 = - 1; 1- (0*1) /1 = 1

∆1 = 14*1+0* (-1) - 9 = 5; ∆3 = 14*1+0*1-15 = - 1; ∆4 = 14*2+0* (-1) - 10 = 4;

∆5 = 14*1+0* (-1) - 0 = 14; ∆6 = 14*0+0*1-0 = 0;

Х1 (0,3,0,0,0,1); F1 = 9*0+14*3+15*0+10*0+0*0+0*1 = 42

Приняв этот план видим, что выпуск 2го вида продукции является наиболее выгодным, остаток сырья 2го вида продукции составит 1 единица.

Т.к. не все ∆ ≥ 0, план не является оптимальным, поэтому продолжим…..

Вектором Р3 заменим Р6min = (3/1, 1/1) = (3,1)

6. Составим 3 симплексную таблицу

Базис	Сб	Р0	Р1	Р2	Р3	Р4	Р5		Р6
			9	14	15	10	0		0
Р2	14	2	2	1	0	3	2		-1
Р3	15	1	-1	0	1	-1	-1		1
			4	0	0	17		13		1

3-1*1/1=2; 1- (-1) *1/1=2; 1-0*1/1=1; 2-1* (-1) /1=3; 1-1* (-1) /1=2; 0-1*1/1=-1

∆1 = 14*2+15* (-1) - 9 = 4; ∆2 = 14*1+15*0-14 = 0; ∆4 = 14*3+15* (-1) - 10 = 17;

∆5 = 14*2+15* (-1) - 0 = 13; ∆6 = 14* (-1) +15*1-0 = 1;

Х2 = (0,2,1,0,0,0); F2 = 9*0+14*2+15*1+0 = 43

План является оптимальным, говорим о том, что наиболее выгодным является производство 2единиц 2 вида продукции и 1единицы 3 вида продукции, причем сырье расходуется полностью.