4. Экстремум функции двух переменных

4.1 Необходимые условия существования экстремума.

Понятие максимума и минимума можно распространить и на случай функции нескольких переменных (здесь для случая двух переменных).

Говорят, что функция имеет в точке максимум (минимум), если существует такая окрестность точки , что для всех точек из этой окрестности и отличных от точки выполняется неравенство:

,

или

.

Теорема 1

(Необходимые условия существования экстремума). Если функция имеет в точке экстремум и в этой точке существуют частные производные и то

(1)

Доказательство. Из определения экстремума следует, что , рассматриваемая как функция одной переменной , при также имеет экстремум. Поэтому . Аналогично получаем равенство: .

Замечание 1

Необходимое условие существования экстремума в случае дифференцируемой функции можно записать ещё и так:

,

в самом деле так как, если , то каковы бы ни были , всегда выполняется

. ()

И обратно: если в данной точке тождественно выполняется условие (), то в виду произвольности производные порознь также равны нулю.

Для случая более двух переменных соответственно имеем

и

Замечание 2

Приведенные условия существования экстремума не являются достаточными, о чем свидетельствует следующий

Пример .

Частные производные равны нулю в точке , но экстремума в этой точке функция не имеет, так как в любой окрестности точки она принимает значения разных знаков, а в самой этой точке .

4.2 Достаточные условия существования экстремума.

Теорема 1

(Достаточные условия существования экстремума). Пусть функция , непрерывная вместе со своими частными производными первого и второго порядков в некоторой окрестности точки удовлетворяет условиям (1).

Обозначим .

Тогда в точке функция :

1. имеет минимум, если и ;

2. имеет максимум, если и ;

3. не имеет экстремума, если

Доказательство Ради краткости доказательство проведем для случаев 1 и 2. Согласно формуле Тейлора, взятой для , с учетом условий (1) имеем:

(2)

где

В силу непрерывности вторых частных производных в точке следует, что

.

Поэтому в силу свойств непрерывных функций для достаточно малых имеем:

В силу неравенств (3) и (4) равенство (2)можно представить в виде:

или дополняя до полного квадрата, в виде:

Выражение во внешних скобках в силу неравенства (5) положительно. Поэтому 1) если (а тогда в силу неравенства (3) и ), то , и следовательно, в точке минимум; 2) если (а тогда в силу неравенства (4) и ), то , и следовательно, в точке максимум.

Рассматривая второй дифференциал (2) в рассматриваемой точке он представляет собой однородный многочлен второй степени или, как говорят квадратичную форму от переменных и исследуя эту форму на знакоопределенности, мы получаем ещё одно необходимое и достаточное условие:

Критерий Сильвестра (J.J. Sylvester)

Для того, чтобы (2) была определенной и положительной. Он выражается цепью неравенств

,

а для определенной и отрицательной

.

Пример 1

Исследовать на экстремум функцию .

Решение: её частные производные обращаются в нуль в точках и . Её вторые производные равны . В точке имеем и следовательно, в точке экстремума нет. В точке имеем и следовательно, в точке минимум.

Примечание. Покажем на примерах, что в случае экстремум может быть, но его может и не быть.

Пример 2

Функция в точке , где , как показано выше (см. п.4.1) экстремума не имеет

Пример 3

Функция в точке , где , имеет экстремум, потому, что в любой окрестности этой точки данная функция положительна, а самой точке равна нулю.

4