Госы 5к Надя / ЛекцииТФДП / Внешняя и внутренняя меры
.doc§21. Внешняя мера множества и её свойства
Пусть E – ограниченное
множество.
.
Возьмём всевозможные открытые множества
G,
,
покрывающие множество E.
Величина
определена ранее,
.
Определение 1. Пусть A
- множество всевозможных открытых
множеств, покрывающих множество E.
Внешней мерой
множества E
называется число
.
Выясним основные свойства внешней меры.
Свойство 1.
.
Доказательство:
.
Свойство 2. Если
,
то
.
Доказательство:
-
множество всевозможных множеств,
содержащих множество
.
-
множество всевозможных множеств,
содержащих множество
.
.
Если множество расширяется, то его
нижняя грань может только уменьшиться
.
Лемма 1. Пусть
- система открытых множеств,
.
Тогда
.
Доказательство:
Так как О
– открытое множество, то его можно
представить в виде объединения
попарно непересекающихся интервалов,
концы которых не принадлежат О
(составляющих интервалов),
,
Имеем:
.
Так как
- открытые множества, то
.
Берём произвольный интервал
.
Выберем произвольно
,
положим
так, чтобы
.
Имеем:
.
Система интервалов
покрывает отрезок
.
По лемме Гейне-Бореля из этой бесконечной
системы можно выбрать конечную систему
интервалов, покрывающих данный отрезок.
Обозначим её
.
Итак,
.
Просуммируем по k все такие неравенства:
;
.
Так как сходящийся двойной
ряд с положительными членами можно
суммировать любым способом, то
.
Следовательно,
- произвольное положительное число.
Переходим в последнем неравенстве к
пределу при
:
Свойство
3.
Доказательство:
Фиксируем
k
и рассмотрим множество
.
По определению
как нижней грани
>0
.
Просуммируем по k все такие неравенства:
.
По построению
Переходим в последнем
неравенстве к пределу при
:
§22. Внутренняя мера множества и её свойства
Пусть
и E
- некоторое множество из
,
.
Рассмотрим множество
,
определена в предыдущем пункте.
Определение 1. Внутренней
мерой множества E
называется число
.
Свойство 1.
.
Доказательство:
Возьмём
и рассмотрим
.
.
Возьмём любое покрытие
множества
и любое покрытие
множества
точек множества Е и
из
.
Имеем:
.
Множество
является открытым. Оно покрывает отрезок
.
То есть система открытых интервалов
из
покрывает
.
По лемме Гейне-Бореля из неё можно
выделить конечную сумму интервалов,
покрывающих
:
Но первая система может пересекаться со второй, тогда
(1)
Но
-
любые множества из
и
(по def inf)
их можно подобрать так, чтобы
(2)
Из (1) и (2) следует
Переходим к пределу при
Свойство 2.
.
Доказательство:
По определению
Докажем последнее неравенство для
произвольного множества
.
Пусть
(то
есть G- открытое множество,
такое, что
)
такое что:
(такое множество всегда можно найти)
.
Переходим к пределу при
.
Но
.
Лемма 1. Пусть
О,
- ограниченные открытые множества,
покрывающие интервал (0,1):
.
Тогда
.
Доказательство:
Возьмём
и рассмотрим
.По
условию
по
лемме Гейне-Бореля из бесконечной
системы интервалов, покрывающих
,
можно выделить конечную подсистему
Пусть
Так как О,
-
ограниченные множества, то ряды
-
“+” сходящиеся
,
то есть для любого, в том числе для
выбранного
.
Обозначим
и
(0)
.
Далее имеет место включение:
(действительно, пусть
)
и
или
.
Множества
-
открытые
их мера определена:
Далее,
из (0)
,
то есть
.
Так как
.
Переходим к пределу при
.
Свойство 3.
-
система
попарно непересекающихся множеств.
Тогда
Доказательство:
1.
:
(*)
Сначала докажем следующие утверждения:
n.1) если
,
то
.
Возьмём любую точку
Возможны три случая:
а)
б)
в)
n.2)
а) Пусть
б) Пусть
.
По определению
нужно доказать неравенство, равносильное
(*):
или
(**)
По определению
1)
2)
(проверяется непосредственно)
3)
(проверяется непосредственно)
Из
Тогда
Переходим к пределу при
и получаем (**)
(*)
2.
.
Обозначим
.
Так как
то
.
Тогда
.
Продолжим этот процесс далее:
и так далее.
Получим:
.
Переходим к пределу при
:
.