Госы 5к Надя / уравнения математической физики / Модуль 2 / лекции / 6-7

Метод Фурье для уравнения колебаний струны Лекция №6-7

Тема: Метод Фурье.

Вопросы:

1. Задача о вынужденных колебаниях однородной струны. Сведение ее к задаче о колебаниях однородной струны с закрепленными концами.

2. Применение метода Фурье к решению задачи о свободных колебаниях однородной струны. Задача Штурма-Лиувиля, собственные значения и собственные функции.

3. Обоснование метода Фурье в случае неоднородного уравнения.

4. Колебания защепленной струны.

Метод Фурье или метод разделения переменных – один из наиболее распространенных методов решения уравнений в частных производных. Рассмотрим применение этого метода на примере задачи о вынужденных колебаниях однородной струны.

Задача о вынужденных колебаниях струны длины l с подвижными концами сводится к интегрированию уравнения

, , , (5.1)

при граничных условиях

, , (5.2)

и начальных условиях

, , . (5.3)

При движении концов сила натяжения однородной струны () не должна меняться, так как .

Введением новой неизвестной функции

,

перейдем от задачи (5.1) – (5.3) к задаче с однородными граничными условиями:

, .

Подставляя

в уравнение, получим новое уравнение относительно функции

,

причем

,

.

Таким образом, без нарушения общности можно считать условия (5.2) однородными, т.е. концы струны закреплены. Эту задачу можно свести к двум:

,

, (5.4)

, ,

,

, , (5.5)

, .

В дальнейшем и снова обозначим через и.

Задача (5.4) решается методом разделения переменных (методом Фурье), согласно которому решение ищется в виде

, (5.6)

Подставим это решение в исходное уравнение (5.4), получим

, ,

или, разделяя переменные,

.

Это равенство возможно только в том случае, когда его обе части не зависят ни от х, ни от t, т.е. равны одной и той же постоянной, обозначим ее через , тогда

.

Получаем два обыкновенных дифференциальных уравнения

,

.

Знак «минус» перед ставится только для удобства дальнейшей записи. Это не означает, что константа отрицательна.

Воспользуемся теперь граничными условиями, откуда

, ,

и так как , то функция Х (х) должна удовлетворять граничным условиям

, .

Поэтому для того, чтобы найти нетривиальные решения вида (5.6), удовлетворяющие граничным условиям задачи (5.4), нужно найти нетривиальные решения уравнения

, (5.7)

удовлетворяющие граничным условиям

, . (5.8)

Таким образом, нам нужно найти значения параметра , при которых существуют нетривиальные решения задачи (5.7) – (5.8), а также сами эти решения.

Такие значения параметра называются собственными значениями, а соответствующие им нетривиальные решения – собственными функциями задачи (5.7) – (5.8). Задачу нахождения таких значений называют задачей Штурма – Лиувилля.

Найдем собственные значения и собственные функции задачи (5.7) – (5.8). Рассмотрим все возможные случаи:

1. , тогда общее решение уравнения (5.7) имеет вид

.

Используя граничные условия (5.8), будем иметь

Так как определитель , то и, следовательно, , т.е. в этом случае нетривиальных решений нет.

2. , , , . Отсюда и .

3. При корни характеристического уравнения и .

Используя граничные условия, получим

,

, или .

Так как при мы опять получим , то положим

, , .

Отсюда получаем , - собственные значения и соответствующие им - собственные функции.

Ни при каких других значениях краевая задача (5.7) – (5.8) не имеет нетривиальных решений. При уравнение

имеет решение

.

Используя и , получим решение

==

задачи (5.4), удовлетворяющее граничным условиям.

Постоянные в этом выражении произвольные, а значения k нужно брать только положительные, так как при отрицательных значениях получаются решения того же вида.

В силу линейности и однородности уравнения в (5.4) любая конечная сумма решений будет также решением. Это справедливо и для бесконечной суммы

== (5.9)

при любых значениях коэффициентов , если этот ряд равномерно сходится и его можно почленно дифференцировать дважды по х и по t. Так как члены ряда (5.9) удовлетворяют граничным условиям (5.2), то этим условиям будет удовлетворять и сумма ряда, т.е. функция =. Эти коэффициенты надо подобрать так, чтобы эта сумма удовлетворяла также начальным условиям. Таким образом, для определения получаем

, , (5.10)

которые представляют собой разложения функций и в ряды Фурье по синусам в интервале . Умножая обе части первого из равенств (5.10) на и интегрируя на интервале , учитывая, что

получим

.

Аналогично из второго равенства находим

.

Таким образом, задача (5.4) решена.

Теорема 1. (о единственности решения смешанной краевой задачи для струны). Если уравнение (5.1) имеет решение, удовлетворяющее начальным условиям (5.3) и граничным условиям (5.2), то оно единственно.

Обоснование метода Фурье в случае неоднородного уравнения.

Решение задачи (5.5) будем искать в виде

==. (5.11)

Очевидно, что оно удовлетворяет однородным граничным условиям задачи (5.5). Используя разложение функции в интервале (0, l) в ряд Фурье по синусам (собственным функциям)

,

где

,

и подставляя (5.11) в уравнение задачи (5.5), получим равенство

,

из которого следует

. (5.12)

Используя однородные начальные условия из (5.5), получим

=,

следовательно,

,

==0,

следовательно

.

Таким образом, мы получили задачу Коши:

, (5.13)

.

Общим решением соответствующего однородного уравнения является

. (5.14)

Для нахождения частного решения неоднородного уравнения построим функцию Коши так, что

1. как функция от t при любом фиксированном s является решением однородного уравнения;

2. , .

Для построения функции Коши подчиним условиям

, ,

что в результате дает решение

.

Заменив далее t на t – s, получим функцию Коши

,

которая при любом фиксированном значении s является решением однородного уравнения из (5.13). Теперь частное решение неоднородного уравнения получим по формуле

.

Таким образом, общее решение уравнения из задачи (5.13)

.

Используя начальные условия, получим

,

,

следовательно,

.

Таким образом, и

,

==.

Сумма решений , задач (5.4) и (5.5) дает решение смешанной краевой задачи для неоднородного уравнения с неоднородными начальными и однородными граничными условиями.

Пример. Однородная струна, закрепленная на концах , , имеет в начальный момент времени форму параболы, симметричной относительно перпендикуляра, проведенного через точку . Определить смещение точек струны от прямолинейного положения равновесия, предполагая, что начальные скорости отсутствуют.

Решение. Необходимо решить следующую задачу о свободных колебаниях струны:

, , ,

, , ,

, , .

Решение будем искать в виде (5.9)

,

где

.

.

Так образом, решением исходной задачи является функция

.

Колебания защепленной струны.

Пусть струна закреплена на концах. Оттянем ее вверх, защепив в точке , и затем отпустим, предоставив ей совершать свободные колебания. В этом случае начальные условия будут иметь вид

, .

Применяя формулы (5.9) и

, ,

получим

, .

Следовательно, отклонение защепленной струны выражается равенством

.

34