Уравнения эллиптического типа Лекция №11-12

Тема: Уравнения эллиптического типа

Вопросы:

1. Задачи, приводящие к уравнениям эллиптического типа. Уравнение Лапласа.

2. Гармонические функции. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа.

3. Решение задачи Дирихле для круга методом Фурье.

4. Случай круга произвольного радиуса. Интеграл Пуассона. Функция Грина.

5. Потенциалы простого и двойного слоя.

В математической физике эллиптические дифференциальные уравнения встречаются либо самостоятельно, либо в задачах, связанных с гиперболическими и параболическими уравнениями, так как в этих уравнениях обычно участвуют эллиптические операторы. Так, например, уравнение колебания мембраны , уравнение теплопроводностисодержат в себе эллиптический оператор, хотя сами эти уравнения не являются уравнениями эллиптического типа.

В природе встречается много явлений, которые не изменяются с течением времени. Эти явления в большинстве случаев описываются эллиптическими краевыми задачами. Такие задачи называются стационарными. В них отсутствуют начальные условия. К таким явлениям относятся стационарные электрические и магнитные поля (электростатика, магнитостатика, поля постоянного электрического тока).

Простейшим уравнением эллиптического типа является уравнение Лапласа

в случае функции двух переменных .

Как схожи по свойствам функции и, так же схожи по свойствам решений уравнения

и , (1)

т.е. основные свойства этого уравнения не зависят от п. Более того, многие свойства решений уравнения (1) аналогичны свойствам решений обыкновенного дифференциального уравнения .

Уравнения распространения тепла в стержне (одномерный случай)

или в пластине после того, как температура установится, т.е. начиная с некоторого момента времени, когда функцияперестанет зависеть отt, а, следовательно, с этого момента производная , переходят в уравнения эллиптического типа

и ,

называемые уравнениями Лапласа и описывающими стационарные процессы.

Задача о стационарном распределении температур в изолированном теле при отсутствии в нем источников и стоков тепла приводит к уравнению Лапласа, в котором и-температура, рассматриваемая как функция от координат.

Если в теле распределены источники тепла, мощность которых не меняется со временем, то температура удовлетворяет уравнению Пуассона:

.

Хорошо известными примерами уравнений эллиптического типа является уравнение Гельмгольца иуравнение Шредингера .

Непрерывные решения уравнения Лапласа, т.е. непрерывные функции, у которых существуют непрерывные частные производные второго порядка

, , и их сумма,

называются гармоническими функциями.

Так как уравнения эллиптического типа описывают стационарные процессы, то для этих уравнений теряет смысл, так называемая, начальная или задача Коши. Поэтому для них ставятся краевые задачи.

Типичной краевой задачей является задача Дирихле: найти функцию , гармоническую внутри некоторой конечной областии принимающую значения заданной непрерывной функциина границеэтой области. Очевидно, что функциядолжна быть непрерывной в области. Задачу Дирихле называют иногда первой краевой задачей. Таким образом, классическое решение задачи Дирихле.

Вторая краевая задача (задача Неймана) состоит в том, чтобы найти внутри конечной области , ограниченной поверхностьюс непрерывно меняющейся нормалью к поверхности, непрерывную вгармоническую функцию, у которой производнаяпо направлению внешней нормали в каждой точке границыравна значению в этой точке заданной непрерывной функции.

Кроме задач Дирихле и Неймана ставится еще смешанная краевая задача, когда на разных участках границы задаются условия различных типов.

Внешние краевые задачи отличаются от перечисленных внутренних задач не характером краевых условий, а только тем, что искомая функции должна быть гармонична в области, расположенной вне одной или нескольких замкнутых поверхностей. В плоском случае требуется еще ограниченность искомой функции на бесконечности.