Госы 5к Надя / уравнения математической физики / Модуль 2 / лекции / 5

Уравнения гиперболического типа Лекция №5

Тема: Уравнения гиперболического типа.

Вывод уравнения колебаний струны.

Вопросы:

1. Задачи, приводящие к уравнениям гиперболического типа. Задача о колебаниях струны.

2. Вывод уравнения колебаний струны.

3. Решение задачи Коши для неограниченной струны. Формула Даламбера.

К уравнениям гиперболического типа приводят задачи, связанные с процессами колебаний (задачи о колебаниях струны, мембраны, электрических колебаниях и др.).

Рассмотрим задачу о колебаниях струны. Струной будем называть идеально гибкую, тонкую нить, упругую в том случае, когда она натянута, и оказывающую сопротивление растяжению. Такая идеальная струна является результатом абстракции. Пусть длина струны равна l, направим ось ОХ вдоль струны, тогда она займет отрезок . Будем считать, что концы струны закреплены.

Будем также считать, что все точки струны движутся перпендикулярно оси ОХ в одной плоскости и что эти колебания малы, предположим также, что струна однородна.

Так как струна колеблется в одной плоскости, то закон ее колебаний задается функцией двух переменных , где и – отклонение точки с абсциссой х в момент времени t.

По формуле длины дуги, получим, что длина дуги в момент времени t равна:

.

Пусть отклонение мало. Если струна достаточно гладкая, то и производная , т.е. тангенс наклона струны в точке х в момент времени t, тоже мала. Тогда, - малая более высокого порядка, следовательно, ей можно пренебречь. Поэтому

.

Таким образом, при малых колебаниях струны ее длину можно считать постоянной. Причем постоянной остается и длина любого отрезка струны.

Так как длина отрезков струны не меняется, то натяжение во всех ее точках одно и то же и равно Т. Поскольку , где  - угол наклона касательной к струне в точке х в момент времени t. Поэтому

.

Так как мы предположили, что величиной можно пренебречь, то во всех точках струны с точностью до малых второго порядка . Но тогда во всех точках струны, с точностью до малых высшего порядка,

.

Перейдем теперь к выводу уравнения колебаний струны, т.е. уравнения которому удовлетворяет функция . Для этого рассмотрим отрезок струны между точками х и . Обозначим линейную плотность струны через , так как по предположению струна однородна, то ее плотность постоянна. Тогда масса этого отрезка струны равна . На отрезок струны действуют силы натяжения, приложенные к его концам. Эти силы равны по величине натяжению Т.

Так как, если угол наклона касательной в точке х равен , а угол наклона касательной в точке равен , то горизонтальная составляющая равнодействующей сил натяжения равна:

.

Но по предположению, во всех точках струны можно считать . Поэтому .

Вертикальная составляющая равнодействующей сил натяжения определяется по формуле:

.

Так как и , то

.

По теореме Лагранжа

,

где с – точка, лежащая между х и . Но по второму закону Ньютона сила равна массе, умноженной на ускорение: .

Ускорение струны в точке с абсциссой х равно второй производной отклонения по времени: . Подставляя все данные в эту формулу, получим

.

Сократим это равенство на и перейдем к пределу при , при этом точка с будет приближаться к х и следовательно,

.

Разделим обе части этого уравнения на и обозначим , тогда последнее уравнение примет вид:

. (4.1)

Уравнение (4.1) называется уравнением свободных колебаний струны.

Если на струну действует сила, вызывающая колебания этой струны, и если в момент времени t линейная плотность силы в точке х равна , т.е. если на отрезок струны от х до действует сила , , то уравнение (4.1) будет иметь вид

. (4.2)

Это уравнение называется уравнением вынужденных колебаний струны.

Решение задачи Коши для неограниченной струны.

Проинтегрируем уравнение свободных колебаний однородной струны

. (4.3)

Введем новые независимые переменные

, ,

тогда уравнение (4.3) примет вид (проверить самостоятельно!)

.

Проинтегрируем полученное уравнение

,

возвращаясь к исходным переменным, получим

, (4.4)

где . Таким образом, мы получили общее решение (решение Даламбера) волнового уравнения (4.3).

Сформулируем теперь задачу Коши для неограниченной струны: найти функцию , удовлетворяющую уравнению (4.3), при , и начальным условиям

, , ,

где , .

В начальный момент времени функция определяет форму струны, а функция задает распределение скоростей вдоль струны.

Предположим, что решение рассматриваемой задачи существует, тогда оно определяется формулой (4.4). Определим функции таким образом, чтобы выполнялись начальные условия. Т.е.

,

.

Интегрируя второе равенство, получим

, .

Поэтому из равенств

,

,

получаем

,

.

Подставив найденные выражения в (4.4), получим

,

или

. (4.5)

(4.5) – формула Даламбера.

27