Лекция №6
Тема: Линейные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами
Вопросы:
1. Построение общего решения линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Вид фундаментальной системы решений, в зависимости о корней характеристического уравнения.
2. Нахождение частного решения линейного неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами методом неопределенных коэффициентов.
Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами возникают в задачах о механических и электрических колебаниях. Мы рассмотрим эти приложения немного позже.
Рассмотрим линейное уравнение п-го порядка
, (1)
где
коэффициенты
,
,
…,
есть действительные числа, а функция
непрерывная в некотором интервале
функция.
Так как интегрирование неоднородного линейного уравнения сводится к интегрированию соответствующего однородного уравнения, то рассмотрим сначала вопрос о построении общего решения однородного уравнения
. (2)
Для нахождения общего решения этого уравнения достаточно знать фундаментальную систему решений. Так как коэффициенты уравнения постоянны и, следовательно, непрерывны при всех значениях х, то по теореме Пикара и все решения уравнения (2) определены при всех х.
Эйлер доказал, что для однородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами всегда можно построить фундаментальную систему решений, состоящую из элементарных функций и, следовательно, это уравнение всегда интегрируется в элементарных функциях. Мы докажем это утверждение для уравнения второго порядка.
1. Интегрирование линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
Пусть мы имеем линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка
, (3)
где
,
- действительные числа. Чтобы найти
общее решение этого уравнения, надо
найти два его линейно независимых
частных решения.
Следуя Эйлеру, будем искать их в виде
, (4)
где
действительная или комплексная. Тогда
согласно определению решения функции
(4) будут решением уравнения (3), если
выбрано так, что функция (4) обращает его
в тождество
.
Подставляя функцию
(4) в левую часть уравнения (3), и принимая
во внимание, что
,
получим
.
Так как
,
то должно выполняться равенство
.
Следовательно, функция (4) будет решением
уравнения (3), если
будет удовлетворять алгебраическому
уравнению
. (5)
Уравнение (5)
называется характеристическим
уравнением,
по отношению к уравнению (3), а его левая
часть
называется характеристическим
многочленом.
Корни характеристического уравнения
называются характеристическими
числами.
Заметим, что
характеристическое уравнение (5) может
быть составлено по данному дифференциальному
уравнению (3) заменой
,
и
на
,
и 1, т.е. степень
совпадает с порядком производной, если
условиться считать, что производная
нулевого порядка от функции есть сама
функция
.
Характеристическое
уравнение (5) является квадратным
уравнением. Обозначим его корни
и
.
Структура фундаментальной системы
решений, а вместе с ней и общего решения
уравнения (3) зависит от вида корней
характеристического уравнения (5). Они
могут быть: 1) действительными и различными;
2) комплексными; 3) действительными и
равными.
Рассмотрим каждый случай отдельно.
1. Если корни
,
характеристического уравнения
действительные и различные, то частными
решениями уравнения (3) будут функции
,
.
Эти решения линейно независимы, так как
,
так как
.
Следовательно, они образуют фундаментальную систему решений уравнения (3). Общее решение уравнения примет вид
,
где
- постоянные.
2. Пусть корни
характеристического уравнения
комплексные. Так как коэффициенты
характеристического уравнения
действительные, комплексные корни будут
попарно сопряженными. Положим, что
и
.
Частные решения уравнения (3) можно
записать в виде
,
.
Это комплекснозначные функции действительного аргумента х, а мы будем рассматривать лишь действительные решения. С помощью формул Эйлера:
,
частные решения
,
можно представить в виде
,
.
Таким образом, частными решениями уравнения (3) будут также действительная и мнимая части этих комплексных решений, т.е. функции
,
. (6)
Эти решения линейно независимы, так как
Аналогично,
сопряженному корню
соответствуют действительные частные
решения
,
.
Эти решения линейно
зависимы с решениями
и
.
Таким образом, паре сопряженных
комплексных корней
соответствуют два действительных
линейно независимых частных решения
(6).
Решения (6) образуют фундаментальную систему решений уравнения (3). Поэтому общее решение в рассматриваемом случае будет иметь вид
.
Если корни
и
чисто мнимые, т.е.
,
,
,
то им соответствуют линейно независимые
частные решения вида
,
.
Эти решения образуют фундаментальную систему решений уравнения (3), а
есть общее решение этого уравнения.