Лекция №2
Тема: Типы дифференциальных уравнений первого порядка.
Вопросы:
1. Простейшие типы уравнений первого порядка: не содержащие искомую функцию, не содержащие явно независимую переменную.
2. Дифференциальная форма ДУ. Уравнения с разделенными переменными.
3. Уравнения с разделяющимися переменными.
4. Однородные уравнения.
5. Линейные уравнения и уравнения Бернулли.
1. Уравнение вида
, (1)
т.е. уравнение, не содержащее искомую функцию.
Предположим, что функция непрерывна при . Как известно из курса интегрального исчисления, все первообразные для , а, следовательно, все решения уравнения выражаются формулой
, .
Если в качестве первообразной взять определенный интеграл с переменным верхним пределом х
,
где , то общее решение уравнения (1) примет вид:
.
Как только в полосе зададим точку , через которую должна проходить интегральная кривая, постоянная С определится единственным образом: . Значит, через каждую точку этой полосы проходит одна и только одна интегральная кривая, а именно
.
Это есть общее решение уравнения (1) в форме Коши.
Каждая из указанных формул общего решения дает возможность найти решение, удовлетворяющее начальному условию при , где .
Пример. Найти общее решение уравнения и выделить решение, удовлетворяющее начальному условию при , т.е. выделить интегральную кривую, проходящую через точку .
Решение. Правая часть уравнения непрерывна при всех х. Общее решение имеет вид
, .
Подставляя в полученное уравнение вместо х и у числа 0 и1, имеем , откуда . Следовательно, искомым решением будет .
2. Уравнение вида
, (2)
где - непрерывная в некотором интервале функция. Предположим сначала, что отлична от нуля на всем интервале . Тогда, не нарушая равносильности, уравнение (2) можно переписать в виде
,
откуда
, (3)
или
, (4)
где . Каждое из соотношений (3), (4) является общим интегралом уравнения (2).
Если правая часть уравнения (2) обращается в нуль при , причем , то оно, очевидно, имеет решение
, (5)
так как обе части этого уравнения обращаются в нуль при . Решение (5) при переходе от (2) к (3) можно потерять. Поэтому следует после интегрирования уравнения рассмотреть уравнение .
Пример. Решить уравнение .
Решение. Правая часть этого уравнения непрерывна при всех значениях у и не обращается в нуль, поэтому потери решений быть не может. интегрируя, имеем
,
откуда
.
Это есть общий интеграл уравнения.
Определение 1. Общее решение дифференциального уравнения, записанное в виде, не разрешенном относительно искомой функции у,
,
называется общим интегралом этого уравнения.
Возвращаясь к примеру, отметим, что поскольку , то переменные х и С связаны условием .
Полученный общий интеграл можно записать в виде, разрешенном относительно у, не забывая при этом указанного ограничения на х и С. Получим
, .
Таким образом, мы получили общее решение исходного уравнения.
Дифференциальное уравнение, в нормальной форме, т.е. разрешенное относительно производной, можно записать в виде или
это уравнение в дифференциальной форме.