Лекция №2
Тема: Типы дифференциальных уравнений первого порядка.
Вопросы:
1. Простейшие типы уравнений первого порядка: не содержащие искомую функцию, не содержащие явно независимую переменную.
2. Дифференциальная форма ДУ. Уравнения с разделенными переменными.
3. Уравнения с разделяющимися переменными.
4. Однородные уравнения.
5. Линейные уравнения и уравнения Бернулли.
1. Уравнение вида
, (1)
т.е. уравнение, не содержащее искомую функцию.
Предположим, что
функция
непрерывна при
.
Как известно из курса интегрального
исчисления, все первообразные для
,
а, следовательно, все решения уравнения
выражаются формулой
,
.
Если в качестве первообразной взять определенный интеграл с переменным верхним пределом х
,
где
,
то общее решение уравнения (1) примет
вид:
.
Как только в полосе
зададим точку
,
через которую должна проходить
интегральная кривая, постоянная С
определится единственным образом:
.
Значит, через каждую точку
этой полосы проходит одна и только одна
интегральная кривая, а именно
.
Это есть общее решение уравнения (1) в форме Коши.
Каждая из указанных
формул общего решения дает возможность
найти решение, удовлетворяющее начальному
условию
при
,
где
.
Пример.
Найти общее решение уравнения
и выделить решение, удовлетворяющее
начальному условию
при
,
т.е. выделить интегральную кривую,
проходящую через точку
.
Решение. Правая часть уравнения непрерывна при всех х. Общее решение имеет вид
,
.
Подставляя в
полученное уравнение вместо х
и у
числа 0 и1, имеем
,
откуда
.
Следовательно, искомым решением будет
.
2. Уравнение вида
, (2)
где
- непрерывная в некотором интервале
функция. Предположим сначала, что
отлична от нуля на всем интервале
.
Тогда, не нарушая равносильности,
уравнение (2) можно переписать в виде
,
откуда
, (3)
или
, (4)
где
.
Каждое из соотношений (3), (4) является
общим интегралом уравнения (2).
Если правая часть
уравнения (2) обращается в нуль при
,
причем
,
то оно, очевидно, имеет решение
, (5)
так как обе части
этого уравнения обращаются в нуль при
.
Решение (5) при переходе от (2) к (3) можно
потерять. Поэтому следует после
интегрирования уравнения
рассмотреть уравнение
.
Пример. Решить
уравнение
.
Решение. Правая часть этого уравнения непрерывна при всех значениях у и не обращается в нуль, поэтому потери решений быть не может. интегрируя, имеем
,
откуда
.
Это есть общий интеграл уравнения.
Определение 1. Общее решение дифференциального уравнения, записанное в виде, не разрешенном относительно искомой функции у,
,
называется общим интегралом этого уравнения.
Возвращаясь к
примеру, отметим, что поскольку
,
то переменные х
и С
связаны условием
.
Полученный общий интеграл можно записать в виде, разрешенном относительно у, не забывая при этом указанного ограничения на х и С. Получим
,
.
Таким образом, мы получили общее решение исходного уравнения.
Дифференциальное
уравнение, в нормальной форме, т.е.
разрешенное относительно производной,
можно записать в виде
или
это уравнение в дифференциальной форме.