Госы 5к Надя / ДУ / Лекция 3

Лекция №3

7. Уравнения в полных дифференциалах.

Вопросы:

1. Понятие дифференциального уравнения в полных дифференциалах. Необходимое и достаточное условие того, что уравнение является уравнениям в полных дифференциалах.

2. Уравнения, сводящиеся к уравнениям в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель. Частные случаи нахождения интегрирующего множителя.

3. Уравнения Лагранжа и Клеро.

Запишем уравнение в дифференциальной форме

. (1)

Если левая часть уравнения (1) является полным дифференциалом некоторой функции , т.е.

,

то уравнение (1) называется уравнением в полных дифференциалах.

Так как уравнение в полных дифференциалах можно записать в виде

,

то его общим интегралом будет

.

В общем случае определить является ли дифференциальное уравнение уравнением в полных дифференциалах трудно. Укажем признак, позволяющий ответить на этот вопрос, а также один из способов нахождения функции .

Предположим, что в уравнении (1) функции и непрерывны в некоторой односвязной области G, например, в прямоугольнике с центром в заданной точке , и не обращаются одновременно в нуль в этой точке. Кроме того, предположим, что в области G существуют непрерывные частные производные и .

Теорема. Для того чтобы при сделанных предположениях относительно функций и уравнение (1) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы в области G выполнялось тождество

. (2)

Доказательство. Докажем необходимость условия (2). Пусть уравнение (1) – уравнение в полных дифференциалах. Тогда

,

так что

, . (3)

Дифференцируя тождества (3) соответственно по у и по х, получим

, .

Но в силу непрерывности частных производных и правые части тождеств равны по теореме Шварца о смешенных производных, а, следовательно, равны и левые части, т.е. имеет место тождество (2).

Докажем теперь достаточность условия (2). Пусть это условие выполнено. Покажем, что тогда можно найти такую функцию , чтобы выполнялось равенство , или равносильные ему тождества (3).

Выберем сначала функцию так, чтобы она удовлетворяла первому из условий (3). Т.е. в качестве функции можно выбрать

, (4)

где - произвольная непрерывно дифференцируемая функция от у.

Определим функцию так, чтобы функция удовлетворяла и второму условию из (3), т.е. чтобы частная производная по у от функции, стоящей в правой части формулы (4), была тождественно равна функции . Для этого достаточно потребовать, чтобы удовлетворяла условию

.

Заметим, что

.

Поэтому

или

,

откуда

.

Подставляя найденное значение в формулу (4), получим искомую функцию в виде

.

Теорема доказана.

Подставляя найденную функцию в формулу и полагая , получим общий интеграл уравнения (1) в виде

. (5)

Пример. Рассмотрим уравнение .

Решение. Здесь , , так что условие (2) выполнено и, следовательно, данное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах. Применяя формулу (5) при , получим общий интеграл исходного дифференциального уравнения в виде

или

.

В некоторых, правда весьма редких, случаях, когда уравнение (1) не является уравнением в полных дифференциалах, все же удается подобрать функцию , после умножения на которую левая часть (1) превращается в полный дифференциал

.

Такая функция называется интегрирующим множителем. Из определения интегрирующего множителя имеем

или

,

,

откуда

,

. (6)

Таким образом, для нахождения интегрирующего множителя мы получили уравнение в частных производных.

Отметим некоторые частные случаи, когда удается сравнительно легко найти решение уравнения (6), т.е. найти интегрирующий множитель.

1. . Тогда и уравнение (6) примет вид

.

Для существования интегрирующего множителя, не зависящего от у, необходимо и достаточно, чтобы правая часть последнего равенства была функцией только от х.

Пример. Рассмотрим уравнение .

Решение. Здесь , .

Имеем .

Следовательно,

, , , .

Уравнение

есть уравнение в полных дифференциалах. Решите это уравнение самостоятельно.

2. Аналогично , если . Тогда и уравнение (6) примет вид

,

.

Для существования интегрирующего множителя, не зависящего от х, необходимо и достаточно, чтобы правая часть последнего равенства была функцией только от у.

Пример. .

Решение. Здесь , . Имеем

.

Следовательно,

, , .

Уравнение

является уравнением в полных дифференциалах. Решите это уравнение самостоятельно.

8. Уравнения Лагранжа и Клеро.

Уравнение вида

, (7)

линейные относительно х и у, называется уравнением Лагранжа.

Уравнение (7) может быть проинтегрировано путем введения параметра . Действительно,

, .

Но и, следовательно,

или

.

В результате мы получили линейное по отношению к х и уравнение, которое легко может быть проинтегрировано методом вариации постоянной. Интеграл этого линейного уравнения совместно с уравнением

определяет интегральные кривые исходного уравнения.

Пример. Проинтегрировать уравнение

.

Решение. Полагаем . Тогда .

Дифференцируя, находим

,

откуда или .

Получили уравнение 1-го порядка, линейное относительно х. Решая его, находим

,

,

.

Подставляя найденное значение х в выражение для у, окончательно получим

,

,

Интересный частный случай возникает, если в уравнении Лагранжа , т.е. когда уравнение имеет вид

. (8)

Уравнение, имеющее вид (8) называется уравнением Клеро.

Полагая , получим

и, дифференцируя, найдем: или , откуда

1. , или 2. .

Общее решение уравнения Клеро имеет вид

.

Уравнение Клеро может иметь еще особое решение, которое получается исключением р из уравнений , .

Пример. Проинтегрировать уравнение

, .

Решение. Полагая , получим

.

Дифференцируя последнее уравнение и заменяя на , найдем

,

откуда

.

Исследуем оба множителя левой части последнего уравнения. Приравнивая к нулю первый множитель, получим

,

откуда и общее решение исходного уравнения есть

.

Приравнивая к нулю второй множитель, будем иметь

.

Исключая р из этого уравнения и из уравнения , получим - особое решение исходного уравнения.

25