3. Признаки абсолютной сходимости рядов

Рассмотрим знакопеременный ряд (А) и ряд, составленный из модулей его членов. Так как ряд из модулей является положительным рядом, то к нему могут быть применены все признаки сходимости положительных рядов.

Итак, для установления абсолютной сходимости знакопеременного ряда получаем следующие признаки.

1) Признак сравнения. Пусть положительный ряд сходится ивыполнено. Тогда рядсходится абсолютно.

2) Признак Даламбера. Пусть . Тогда если, то рядабсолютно сходится, если, то ряд расходится.

3) Признак Коши. Пусть . Тогда прирядабсолютно сходится, при- расходится.

Следует осторожно применять признаки расходимости, так как даже если ряд окажется расходящимся, ряд (А) может сходиться условно. Исключение составляют только признаки Даламбера и Коши. Если они устанавливают расходимость ряда, то это означает, что(смотри доказательство этих признаков) следовательно, иследовательно, ряд (А) тоже расходится.

§5. Знакочередующиеся ряды

1. Признак Лейбница

Определение. Ряд называется знакочередующимся, если любые два соседних члена ряда, являющимися членами разных знаков:

(1) .

Для определенности будем считать, что , то есть будем считать абсолютными величинами членов ряда.

Теорема 8 (Признак Лейбница). Если члены ряда (1) удовлетворяют условиям:

(то есть общий член, не возрастая, стремится к нулю), то ряд (1) сходится.

Доказательство.

Пусть - последовательность частных сумм ряда (1). Выделим из нее подпоследовательности частичных сумм с четными и нечетными номерами:и.

можно записать следующим образом:

.

Так как члены ряда (1) не возрастают по абсолютной величине, то каждая скобка неотрицательна. Следовательно .

Далее, так как , то последовательностьне убывает. Запишемв следующем виде:

. (2)

Итак, - неотрицательная, неубывающая и ограничена сверху, значит, она имеет конечный предел при. Обозначим. (3)

Из (2) следует, что . (4)

Рассмотрим . Отсюда, так как(по условию), получаем

. (5)

Выберем . Равенство (3) означает, что для выбранноговыполнено.

Равенство (5) означает, что для выбранного выполнено.

Возьмем . Тогда для выбранного, начиная с номераN выполнено , то есть. Значит, ряд (1) сходится.

Пример.

Δ 1) .

Рассмотрим ряд из модулей - сходится, следовательно, данный ряд сходится абсолютно.

2) .

- расходится. Проверим, сходится ли условно. Для этого проверим выполнение условий теоремы Лейбница.

а) ,;

б).

Следовательно, по признаку Лейбница ряд сходится. Так как его ряд из модулей расходится, то ряд сходится условно.

3) следовательно, данный ряд расходится.

4) . Получим- расходится.

Ответ: при ряд сходится абсолютно, приряд сходится условно, приряд расходится. Δ

2. Оценка остатка ряда Лейбница.

При доказательстве теоремы 8 было установлено, что последовательность неотрицательна, не убывает и ограничена сверху,.

Покажем, что последовательность не возрастает:

.

Следовательно, последовательность стремится кS, не возрастая. Таким образом, последовательности и- встречные монотонные последовательности, стремящиеся к одному и тому же пределу. Таким образом верно неравенство

При из него получаем(это же было показано при доказательстве теоремы 8). С другой стороны ясно, что, так как уже. Итак,

. (6)

Последнее неравенство означает, что сумма всякого сходящегося знакочередующегося ряда с первым положительным членом всегда сама положительна и меньше этого первого положительного члена.

В некоторых задачах надо вычислить примерное значение суммы знакочередующегося сходящегося ряда. Так как , то за примерное значение суммы берут частичную сумму с достаточно большим номером. При этом можно дать простую оценку погрешности вычисления.

а) Пусть . Тогда, так как, то вычисление произведено с недостатком. Ошибка вычислений равна- знакопеременный сходящийся ряд с положительным первым членом, следовательно,.

б) Пусть . Тогда так как, то вычисление произведения с избытком и оценка вычислений отрицательна:

Так как , то.

Объединяя а) и б) можно сделать следующий вывод.

Погрешность при замене суммы ряда Лейбница его частичной суммой (то есть остаток ряда Лейбница) имеет знак первого отброшенного члена и не превосходит его по абсолютной величине:

если , то.

19