2. Вычисление массы плоской фигуры

Пусть на плоской фигуре Р распределена масса m. Поверхностной плотностью массы в точке N фигуры Р называется предел

,

где D – произвольный участок фигуры Р содержащий точку N, его площадь также обозначим D, m(D) – его масса. Условие DN означает, что участок D стягивается к точке N, то есть наибольшее расстояние от точки N до точек участка D стремится к нулю.

Если плотность распределена равномерно по фигуре, то (х;у)=const .

Задача. Вычислить массу плоской фигуры Р, по которой непрерывным образом распределена масса m с поверхностной плотностью (х;у), при этом (х;у)- непрерывная функция.

Разобьём фигуру сетью кривых на n произвольных частей: Р₁,Р₂,…,P_n, площади которых тоже обозначим Р₁,Р₂,…,P_n, а m₁,m₂,…,m_n - их массы. В каждой части P_i возьмем произвольно точку N_i(u_i;v_i) и вычислим в ней плотность (u_i;v_i). Если разбиение достаточно мелко, то в силу непрерывности функция (х;у) мало изменяется в области P_i. Следовательно, можно считать, что . Тогда.

Равенство тем точнее, чем мельче разбиение, и становится точным в пределе при где,_i=diamP_i.

Так как (х;у)-непрерывная функция, то предел справа существует и равен . Следовательно,

m=.

II. Тройной интеграл

§1. Определение тройного интеграла и условия его существования

1. Кубируемое тело и его объем

Понятие объема тела произвольной формы вводится аналогично понятию площади плоской фигуры. Давая определение площади плоской фигуры, мы опирались на понятие площади многоугольника. При введении понятия объема тела за основу берется понятие объема многогранника (его считаем известным).

Пусть тело (V) ограничено замкнутой поверхностью. Рассмотрим всевозможные многогранники (X) объема X, целиком содержащиеся в теле (V) и многогранники (Y) объема Y, целиком содержащиеся в теле (V). Рассуждая так же, как и при введении понятия площади, устанавливаем, что и, причем.

Определение. Если обе границы исовпадают, то их общее значениеV называется объемом тела (V), а само тело называется кубируемым.

Теорема 1. Для того, чтобы тело (V) имело объем V, необходимо и достаточно, чтобы >0 существовало два таких многогранника (Х) и (Y), для которых Y-X<.

Теорема 2. Для того, чтобы тело (V) имело объем V, необходимо и достаточно, чтобы ограничивающая поверхность (S) имела нулевой объем, то есть чтобы ее можно было заключить в многогранное тело с произвольно малым объемом.

Теорема 3. Тело (V) кубируемо, если его граница может быть разбита на конечное число частей, каждая из которых есть поверхность, определяемая одним из уравнений z=f(x;y), y=(x;z), x=(y;z) где f, ,  - непрерывные на некоторой замкнутой области функции.

Теорема 4. Для того, чтобы тело (V) имело объем V, необходимо и достаточно, чтобы существовали две последовательности соответственно вписанных и описанных многогранников и, объемы которых имели бы общий предел. Этот предел и будет объемом тела (V).

Теорема 5 (аддитивность объема). Если тело (V) разложено на два тела (V₁) и (V₂), то из существования объемов двух этих тел следует существование объема тела (V), при этом V=V₁+V₂.