Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Брянский государственный университет им. академика И.Г. Петровского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Госы 5к Надя / лекции_3 / Кратные интегралы.doc

Скачиваний:

116

Добавлен:

30.05.2015

Размер:

1.44 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 94 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

§4. Вычисление двойного интеграла повторным интегрированием

I случай. Прямоугольная область.

Пусть функция f(x;y) определена на прямоугольнике Р=[a,b;c,d] и интегрируема по y на [c;d] для любого фиксированного x[a;b], т.е. x[a;b] . Тем самым определена функцияна [a;b]. Если функция (х) интегрируема на [a;b], т.е. , тоэтот интеграл называется повторным интегралом от функции f по прямоугольнику Р, взятым сначала по y, а затем по x. Его символически обозначают

. (1)

Аналогично определяется повторный интеграл . (2)

Теорема 1. Если функция f(x;y) непрерывна на прямоугольнике Р=[a,b;c,d], то существуют повторные интегралы (1) и (2).

Доказательство.

Докажем существование интеграла (1). Для этого достаточно доказать, что функция непрерывна на [a;b]. Пусть x₀ - произвольная точка отрезка [a;b]. Придадим x₀ приращение х, так чтобы x₀+х[a;b]. Тогда

. (3)

Т.к. функция f непрерывна на прямоугольнике Р, то она и равномерно непрерывна на нём. Тогда >0 >0: (x₁;y₁),(x₂;y₂)P: ((x₁;y₁),(x₂;y₂))< 

|f(x₁;y₁)-f(x₂;y₂)|<. (4)

Пусть >0 - произвольное число. выполнено

, .

Тогда для этих точек должно выполняться (4), т.е.

. (5)

Из (3) и(5) следует

Т.о., из условия следует.

Следовательно, (х) непрерывна в точке х₀. Так как х₀ – произвольная точка из [a;b] то (х) непрерывна на [a;b]. Следовательно, она интегрируема на [a;b], т.е. .

Существование повторного интеграла (2) доказывается аналогично.

Теорема 2. Если функция f(x;y) непрерывна на прямоугольнике Р=[a,b;c,d], то справедлива формула

(без доказательства)

Пример 1. Вычислить , где Р прямоугольник [0,1;0,1].

 . 

II случай. Непрямоугольная область.

Пусть функция f(x;y) определена на замкнутой области Р, представляющей собой плоскую фигуру, ограниченную прямыми x=a и x=b (a<b), кривыми y=₁(x) и y=₂(x), причем ₁(x)₂(x) и ₁(х), ₂(х) непрерывны на [a;b]. Такую область назовем простой областью I типа. (обозначим её Р_I). Очевидно, что Р_I квадрируема. Рассуждая аналогично I случаю, имеем: , повторный интеграл:

. (6)

Пусть область Р ограничена прямыми y=c и y=d (c<d), кривыми x=₁(y), x=₂(y), причем ₁(y)₂(y) и ₁(y) и ₂(y) непрерывны на [c;d]. Такую область назовем простой областью II типа. (обозначим её Р_II). Р_II квадрируема. Тогда , повторный интеграл:

. (7)

Теорема 3. Если функция f(x;y) непрерывна на простой области I типа, то существует повторный интеграл (6).

Доказательство.

Докажем непрерывность функции (х)на[a;b]. Из этого будет следовать ее интегрируемость. Пусть х- произвольная точка отрезка [a;b]. В интеграле сделаем замену переменной:. Еслиt=0, то y=₁(x), если t=1, то y=₂(x), . Получим

Т.к. f(x;y) непрерывна на Р_I, функции ₁(х), ₂(х) непрерывны на [a;b], то функция g(x;t)непрерывна на прямоугольнике D=[a,b;0,1]. Поэтому на основании теоремы 1 (х)непрерывна на[a;b]. Следовательно, она интегрируема на [a;b], т.е. .

Теорема 4. Если функция f(x;y) непрерывна на простой области II типа, то существует повторный интеграл (7).

Теорема 5. Если функция f(x;y) непрерывна на простой области I типа, то справедлива формула

. (8)

Доказательство (на оценку «отлично»).

Так как ₁(x) и ₂(x) непрерывны на [a;b], то они на этом отрезке имеют наименьшее и наибольшее значения. Обозначим их ,. Пусть D=[a,b;c,d], PD.Рассмотрим функцию F(x;y) на D:

По условию f непрерывна на замкнутой квадрируемой области Р, следовательно, она интегрируема на Р. Т.к. F(x;y)=f(x;y), то и F(x;y) интегрируема на Р и

С другой стороны, т.к. на Р₁ и Р₂ F(x;y)=0, то F(x;y) интегрируема и на Р₁, Р₂ и

(все интегральные суммы равны нулю, а значения на границе можно не учитывать).

Тогда по свойству аддитивности двойного интеграла F(x;y) интегрируема на

. (9)

Теперь наша задача свелась к вычислению - двойного интеграла по прямоугольной области.

 фиксированного х[a;b]

так как существует каждый из трёх интегралов справа:

, а .

Тогда х[a;b]

. (10)

Так как f(x;y) непрерывна на Р, то по теореме 3 непрерывна на [a;b]. Тогда из (10) следует, что непрерывна на [a;b], значит, (х) интегрируема на [a;b], т.е. существует повторный интеграл (случай I)

. (11)

Теперь из (9) и (11), учитывая (10), получаем

Теорема 6. Если функция f(x;y) непрерывна на простой области II типа, то справедлива формула

. (12)

Замечание 1. Если контур области интегрирования пересекается не более, чем в двух точках, как параллелями оси Ох, так и параллелями оси Оу, то имеют место обе формулы (8) и (12), и, значит, повторные интегралы (6) и (7) равны.

Замечание 2. Если область Р не является простой областью I или II типа, то её разбивают (если возможно) на конечное число простых областей I и II типа. Тогда двойной интеграл по области Р равен сумме интегралов по простым областям.