4. Перестановки n-й степени. Теорема о четности перестановки. Определители n-го порядка. Определители второго и третьего порядков.

Определение 1. Пусть М={1,2,…,n}. Перестановкой на множестве М или перестановкой n-й степени называется множество М с заданным расположением его элементов, и обозначается I=(i₁i₂…i_n), где i₁,i₂,..,i_n – попарно различные элементы из М.

Пример 1. Пусть М={1,2,3}. Тогда перестановки на М имеют вид: I₁=(132), I₂=(231), I₃=(123) и т.д.

Определение 2. Инверсией или беспорядком перестановки I называется любая пара символов перестановки I, в которой символ, стоящий левее, больше символа, стоящего правее.

Пример 2. В перестановке I₂=(231) две инверсии: 31 и 21.

Через (I) будем обозначать число всех инверсий перестановки I.

Определение 3. Перестановка I называется чётной, если (I) – чётное число, в противном случае перестановка I называется нечётной.

В примере 2 перестановка I – чётная.

Через S_n обозначается множество всех перестановок n-ой степени. Можно доказать, что количество всех перестановок из n элементов равно n!=123…n. Например, из 3 элементов можно составить перестановок. Это будут 123, 132, 231, 321, 312, 231.

Определение 4. Транспозицией называется перемена местами 2-х элементов перестановки, когда остальные элементы остаются на месте.

Теорема 1. Транспозиция меняет четность перестановки. Другими словами, четность перестановки изменится, если в ней поменять местами два произвольных символа.

Пусть А=- матрицаn-го порядка над полем Р.

Из элементов матрицы А будем составлять всевозможные произведения, состоящие из n множителей, любые два различных из которых находятся в разных строках и разных столбцах. Таким, например, является произведение элементов, стоящих на главной диагонали: a₁₁a₂₂…a_nn. Все такие произведения можно получить по следующему правилу: выберем для произведения из первой строки матрицы А некоторый элемент , затем вычеркнем первую строку иj₁-й столбец, и в полученной подматрице из первой строки выбираем некоторый элемент и т.д. Через конечное число шагов получим произведение вида:….

Так как j₁,j₂,…,j_n – попарно различные элементы из множества М={1,2,…,n}, то вторые индексы в записанном произведении образуют перестановку I=(j₁j₂…j_n).

Рассмотрим выражение вида: (-1)^{ (I)} (1), гдеI=(j₁j₂…j_n).

Выражений вида (1) можно образовать столько, сколько существует перестановок, составленных из вторых индексов, т.е. их будет n!.

Определение 5. Пусть А=- матрицаn-го порядка над полем Р. Определителем матрицы А (или, коротко, определителем n-го порядка) называется элемент поляР, равный .

Используются следующие обозначения: =,=|A|, =|a_ij|, i=,j=,

=det A.

1) Пусть Δ – определитель 2-го порядка, т.е. Δ ==.

Так как I₁ = (12) и = 0, то получим Δ = =.

Таким образом, определитель 2-го порядка равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали, минус произведение элементов, стоящих на побочной диагонали.

2) Пусть Δ - определитель 3-го порядка: Δ = =.

I₁ = (123) = 0 ;I₂ = (213) = 1 ;

I₃ = (312) = 2 ;I₄ = (321) = 3 ;

I₅ = (132) = 1 ;

I₆ = (231) = 2 .

Следовательно,

Δ==.

Таким образом, определитель 3-го порядка равен сумме шести слагаемых, три из которых со знаком +.