1. Линейная функция

Определение.Линейной функциейназывается функция вида:

, (1.1.)

где и– некоторые постоянные комплексные числа.

Очевидно, что отображение (1.1.) будет конформным во всей плоскости комплексного переменного и при том взаимно однозначным.

Рассмотрим сначала три случая, при чем, для простоты ибудем изображать точками одной плоскости.

1. .

Это отображение есть сложение векторов, а, фактически, параллельный перенос точек плоскости на вектор .(Рис. 2.1.1).

Рисунок 2.1.1.

2. .

Пусть , тогда. В этом случае имеем:

,

то есть точка переходит в точкупри помощи вокруг поворота около нулевой точки на угол. Значит, это отображение есть поворот вокруг начала координат на угол(Рис. 2.1.2).

Рисунок 2.1.2.

3. – постоянное комплексное число (если, то все точки комплексной плоскости перейдут в нулевую точку).

Запишем в показательной форме, тогда получим

.

Это означает, что длина вектора меняется враз (то есть– коэффициент подобия) и к аргументуприбавляется угол(поворот вокруг начала координат на угол).

Окончательно получим, что отображение, осуществляемое функцией , есть комбинация преобразований точек плоскости:

1. поворот вокруг начала координат на угол, равный аргументу числа ;

2. подобие с центром в начале координат и коэффициентом подобия равным модулю числа;

3. параллельный перенос на вектор , при котором начало координат переходит в точку.

Функция является аналитической.

При отображении, осуществляемом с помощью линейной функции, фигуры переходят в подобные им фигуры (на рис. 2.1.3. это показано для функции ). Это свойство называетсясвойством сохранения формы.

Рисунок 2.1.3.

Этим свойством обладает и преобразование , которое называетсяантилинейным. Оно сохраняет форму, но меняет ориентацию обхода границы фигуры на противоположную (На Рис. 2.1.4. это показано для функции)

Рисунок 2.1.4.

Отсюда вытекает, что любое преобразование подобия задается линейной или антилинейной функцией, при чем если ориентация сохраняется, то оно задается линейной функцией.

Поскольку линейная функция определяется двумя параметрамии, то для её задания нужны два условия.

2. Дробно-линейная функция

Линейная функция является частным случаем функции вида:

(2.2.1)

где – комплексные число, при чем.

Функции вида (2.2.1) называются дробно-рациональными.

Дробно-линейную функцию можно распространять на всю расширенную комплексную плоскость.

Так как , то точкапереходит при этом отображении в, а точкав.

Рассмотрим основные свойство дробно-линейных отображений.

1. Конформность.

Дробно линейная функция конформно отображает расширенную комплексную плоскость на расширенную комплексную плоскость.

Очевидно, что функция (2.2.1) регулярна во всей расширенной комплексной плоскость, за исключением точки – полюса первого порядка. Решая уравнение (2.2.1) относительно, находим функцию

(2.2.2)

() обратную к функции (2.2.1).

Функция (2.2.2) однозначна на всей расширенной комплексной плоскости и так же дробно-линейной. Следовательно, дробно-линейная функция однолистна в расширенной комплексной плоскости.

2. Групповое свойство.

Совокупность дробно-линейных отображений образует группу, т.е.

1)суперпозиция дробно-линейных отображений является дробно-линейным отображением.

2) Отображение, обратное к дробно-линейному, так же является дробно-линейным.

Докажем первое свойство. Пусть

(2.2.3)

(2.2.4)

Подставляя (2.2.3) в (2.2.4) получаем:

где

.

Второе свойство доказано в предыдущем пункте.

2. Круговое свойство.

При дробно-линейном отображении образом любой окружности или прямой является окружность или прямая.

Докажем это свойство. Сначала рассмотрим линейное отображение . Это отображение сводится к подобию, повороту и переносу (пункт 1). Следовательно, линейное отображение переводит окружности в окружности, а прямые – в прямые.

В случае, когда дробно-линейная функция не является линейной, представим её в виде

, (2.2.5)

где . Тогда отображение (2.2.5) сводится к последовательному выполнению следующих отображений:

(2.2.6)

Первое и третье отображения (2.2.6) обладают круговым свойством, так как они линейные. Остается доказать, что второе отображение (2.2.6), т.е. отображение

, (2.2.7)

так же обладает круговым свойством.

Уравнение любой окружности или прямой на плоскости имеет вид

(2.2.8)

(если , то (3.2.9) – уравнение прямой).

Так как , то уравнение (2.2.8) записывается в виде

, (2.2.9)

где .

Подставив в (2.2.9)получаем

. (2.2.10)

Следовательно, образом окружности (2.2.9) (прямой, если ) при отображении (2.2.7) является окружность (2.2.10) (прямая, если).

Отметим, что дробно-линейное отображение переводит окружности и прямые, проходящие через точкув прямые, а остальные окружности и прямые – в окружности.

Принято считать, что прямая – это окружность бесконечного радиуса. Поэтому коротко круговое свойство можно сформулировать так: при дробно-линейном отображении окружности переходят в окружности.

4. Свойство сохранения симметрии.

Понятие симметрии относительно окружности определяется в элементарной геометрии следующим образом. Пусть – окружность радиусас центром в точке.

Определение. Точкииназываются симметричными относительно окружности, если они лежат на одном луче, выходящем из точки, и(Рис. 3.2.1).

Рисунок 2.2.1.

В частности, каждая точка окружности является симметричной сама себе относительно этой окружности.

Таким образом, на комплексной плоскости точки иявляются симметричными относительно окружности, если они лежат на одном луче, выходящем из точкии. Из этого определения вытекает, что симметричными относительно окружноститочки,связаны соотношением

(2.2.11)

В частности, симметричные относительно единичной окружности точкиисвязаны соотношением:

(2.2.12)

Так как точки исимметрично относительно действительной оси, то из (2.2.12) следует, что точкаполучается из точкидвойной симметрией: относительно действительной оси и относительно единичной окружность (в любом порядке).

Из (2.2.11) вытекает, что симметричные относительно окружности точкиисвязаны соотношением

(2.2.13).

Стоит отметить, что точки иявляются симметричными относительно окружноститогда и только тогда, когда любая окружность, проходящая через эти точки, пересекается с окружностьюпод прямым углом.

Дробно-линейное отображение обладает следующим свойством сохранения симметрии.

При дробно-линейном отображении пара точек, симметричных относительно окружности, переходит в пару точек, симметричных относительно образа этой окружности.

Здесь окружность, в частности, может быть прямой.

Докажем это свойство. Пусть точки исимметричны относительно окружностии пусть дробно-линейное отображениепереводит окружностьв, а точкии– в точкиисоответственно. В силу кругового свойстваявляется окружностью. Нужно доказать, что точкиисимметричны относительно. Для этого достаточно доказать, что любая окружность, проходящая через точкии, пересекается спод прямым углом.

Прообразом окружности при дробно-линейном отображенииявляется окружность, проходящая через точкии. Эта окружностьпересекается спод прямым углом. Следовательно,пересекается стак же под прямым углом, так как дробно-линейное отображение является конформным во всей расширенной плоскости и сохраняет углы между кривыми в каждой точке.

5. Дробно-линейное отображение, переводящее три точки в три точки.

Существует единственное дробно-линейное отображение, при котором три различные точки переходят в три различные точки. Это отображение определяется формулой

(2.2.14)

Докажем это свойство. Из группового свойства следует, что функция, определяемая соотношением (2.2.14), является дробно-линейной. Так же ясно, что

Докажем, что если дробно-линейная функция удовлетворяет тем же условиям, что и,а именно, то. Пусть– функция, обратная функции. Тогда– дробно-линейная функция:

и. То есть,

Отсюда получаем,то есть квадратное уравнениеимеет три различных корня. Следовательно,и, откуда.Свойство доказано.

Заметим, что функция,определенная формулой (3.2.15), конформно отображает круг, граница которого проходит через точки,, на круг, граница которого проходит через точки