Практична робота № 2. Тема : Обробка прямих рівноточних багаторазових вимірювань тієї ж самої величини

1 Мета заняття.

Придбати практичні навики обробки прямих рівноточних багаторазових вимірювань тієї ж самої величини.

2. Дидактичний матеріал

Плакат: "Алгоритм розрахунків прямих, багатократних, рівноточних вимірювань"

3 Загальні відомості.

3.1 При обробці ряду результатів прямих рівноточних багаторазових вимірювань тієї ж самої величини у якості дійсного результату вимірювання можна розглядувати середнє арифметичне замість математичного сподівання. Доведемо справедливість цього утвердження при достатньо великої кількості проведених вимірювань. Іншими словами доведемо, що математичне сподівання можна замінити середнім арифметичним при технічних вимірюваннях.

Середнє арифметичне визначається по формулі:

де - середнє арифметичне;

Xi - результат вимірювання;

I - номер результату вимірювання;

n - кількість проведених вимірювань.

Любий результат вимірювання можна представити як суму дійсного значення цієї величини “а” та випадкову похибку цього результату ∆_i

X_i = a + ∆_i

Тоді ряд результатів вимірювань можна записати наступним чином

X₁=a + ∆₁

X₂=a + ∆₂

________

X_n=a + ∆_n

Просумуємо ліву і праву частини:

Розділимо ліву і праву частини на “n” кількість проведених вимірювань.

3.2 Одна з аксіом випадкових похибок говорить о том, що при великої кількості вимірювань середнє арифметичне випадкових похибок приблизно дорівнюється нулю, притому тим точніше, чим більш проведено вимірювань,

Це означає, що формула (1) приймає наступний вигляд :

Тим самим ми довели, що замість математичного сподівання у якості дійсного значення можна застосовувати середнє арифметичне.

З'ясуємо питання про похибки. Випадкова похибка ∆_i=X_i - а. Ми замість “а” будемо застосовувати “X”. Різниця “X_i – X” буде відрізнятися від різниці “X_i – а”. Позначимо її другою літерою “V” Її можна назвати “відхилення від середнього арифметичного”, або “залишкова похибка”, або “уявна похибка”.

Можна довести, що похибка середнього арифметичного “– а” та похибка відхилення від середнього арифметичного рівні та цю похибку можна визначити.

Похибка середнього арифметичного визначається виразом:

Тобто похибка середнього арифметичного дорівнює середньому арифметичному похибок окремих результатів вимірювань.

Похибка відхилення від середнього арифметичного

визначається виразом: ∆_i – V_i

Так як похибка середнього арифметичного та похибка відхилень від нього визначається однаковими формулами та піддаються вимірюванню, то метод обробки ряду результатів рівноточних вимірювань у вигляді “середнього арифметичного” можливе при технічних вимірюваннях.

3.3 Відхилення від середнього арифметичного володіє рядом властивостей. Одне з них: сума відхилень від середнього арифметичного ряду вимірювань дорівнює нулю

Ця властивість застосовується при перевірці обчислення середнього арифметичного та відхилень від нього. Воно виконується у тому випадку, коли при обчислюванні середнього арифметичного не було округлень.

3.4 Друга властивість відхилення від середнього арифметичного полягає у тому, що сума квадратів його найменша з можливих, а значить менше суми квадратів випадкової похибки, тобто

Ця властивість приводить до того, що середнє квадратичне відхилення, визначене з допомогою відхилення від середнього арифметичного буде мати друге значення, чим при визначенні з допомогою випадкової похибки. Тому воно позначається другою літерою та визначається по другій формулі:

де S - середнє квадратичне відхилення, ряду результатів вимірювання;

V_i - відхилення від середнього арифметичного,

n - кількість вимірювань.

3.5. Якщо вимірювання проведене у вигляді декількох серій, то для кожної серії слідує визначити середнє арифметичне та середнє квадратичне відхилення від нього.

X_i; S₁ - для першої серії результатів вимірювання;

X₂; S₂ - для другої серії результатів вимірювання;

X_m; S_m - для m-_ой серії.

Якщо ця величина збігається або незначно відрізняється одна від одної, то можна прийняти, що серії виконані рівноточно. У якості результату вимірювання буде середнє арифметичне усіх “m” середніх арифметичних, позначаємо “X”. Його середнє квадратичне відхилення позначається та обчислюється з формули:

Якщо відомо, що результати вимірювання у кожній серії розподіляються по нормальному закону, то їх середні арифметичні також розподілені по нормальному закону.

3.6 Для того , щоб накреслити криву розподілу результатів вимірювання слідує обчислити слідуючи параметри закону нормального розподілу: довжину лінії імовірності для середнього арифметичного ряду вимірювань або середнього арифметичного середніх арифметичних результатів вимірювань усіх серій.

де ρ () - лінія імовірності для середнього арифметичного окремої серії вимірювань (ряду вимірювань);

S - середнє квадратичне відхилення окремої серії;

ρ (х) - лінія імовірності для результатів вимірювань m серій;

S₀ - середнє квадратичне для ряду серії.

Для одної серії абсциси точок перегину визначаються по формулам:

Ординати точок перегину визначаються для одної серії вимірювань по формулі: ρ(x_1,2)=0,26/S і для цього результату вимірювань декількох серій по формулі:

Якщо проведена одна серія вимірювань, то для уточнення можна обчислити результат та його середнє квадратичне відхилення по методиці декількох серій, прийняв у якості "n" кількість вимірювань однієї серії.

Для креслення кривої закону розподілу для однієї серії або декількох серій вчиняємо аналогічно. На осі абсцис показується середнє арифметичне. По осі ординат у вибраному масштабі показується визначене значення густини імовірності, що являється лінією імовірності для середнього арифметичного. Так знаходиться точка кривої, відповідна найбільш імовірному значенню визначаємо величини. Потім, на осі абсцис показують абсциси точок перегину. На осі ординат - лінії імовірності для точок перегину Таким чином визначають точки перегину. Вони симетричні відносно максимуму кривої. З'єднав ці точки плавною лінією, продовжуємо гілки кривої, наближуючи їх до осі абсцис, але не перетинаючи її. Так необхідно накреслити криву (див. рис.3.1).

Рисунок 3.1-Крива розподілу результатів вимірювань

Крива II - побудована аналогічно для обробці результатів декількох серій рівноточних вимірювань. Як видно з графіків виконання декількох серій вимірювань забезпечує кращу сходимість, що відповідає більш високій якості вимірювання.

4 Література та навчальні посібники.

4.1 Тюрин Н.И. Введение в метрологию - М.: Изд-во стандартов. 1986.

4.2 Шишкин И.Ф. Основы метрологии, стандартизации, управления качеством.- М.: Изд-во стандартов, 1988

4.3 Долинский Г.А. Обработка результатов измерения - М.: Изд-во стандартов, 1972.

4.4 Артемьев Б.Г. , Голубев С. И. Справочное пособие для работников метрологических служб- М.: Изд-во стандартов, 1986.

4.5 Рего К.Г. Метрологическая обработка результатов технических измерений, 1987.

4.6 ГОСТ 8.207 - 97 “ГСИ. Прямые измерения с многократными наблюдениями. Методы обработки результатов наблюдений. Основные положения.”