Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белоцерковский национальный аграрный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

dlja_agro

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.05.2015

Размер:

626.1 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 75 6 7 > Следующая >>>

4. Графік функції у f kх , k 0 дістаємо з графіка функції у f х при

0<k<1 за допомогою збільшенням в 1 разів абсцис його точок, а при k>1 змен- k

шенням в k разів абсцис його точок із збереженням їхніх ординат.

Приклад: Користуючись графіком функції					у х2 ,	побудувати		графік
функції у х 1 2 1.
	Розв’язання:
Виходячи з графіка функції	у х2	(рис.	а),	спочатку побудуємо графік
функції у х 1 2 перенесенням	графіка у х2		відносно осі Ох вліво на 1 оди-
ницю (рис. б). А потім у х 1 2	перенесемо вгору на 1 одиницю (рис. в).
		Y					Y
		Y					Y
	6					6
	6
	5					5
	5
	4					4
	4
	3					3
	3
	2					2
	1					1
					X			X
-4 -3	-2 -1 0	1 2	3	4	-4 -3	-2 -1 0	1 2	3 4
	-1					-1
	-2					-2

а)	б)					в)

Практичне заняття 5.

Функція. Основні елементарні функції

Знайти значення функції у вказаних точках:

54.у 1 у точках –1; 0,5; 2;

х2 х

55.у 5 2х у точках 0; 1; 2,5;

56.у аrcsіn х у точках –2; 4; 2;

57.у sіn х у точках ; ; .

23 2

58.у 1 lgх у точках 0,1; 1; 10.

Знайти область визначення функції

59.

;

70.

;

5 2х

2х

72.

;

71.

у х2

3х 2

;

х2 4х

74. у

;

73.

х2

4х 3;

х2

3х 2

у аrcsіn

76.

;

75.

;

2 х

lg х

3 2х

77.

аrcsіn

;

78.

;

3 х

х 1

1 х

х2 1

79.

lg x3

x ;

80.

sіnx

16 х2

4 х2

Користуючись графіком функції у х2 , побудувати графіки функцій:

81.	у 2х2 2х 2;						82.	у 2х2 2х 4;
83.	у х2	2х 8;					84.	у х2 4х 10;
85.	у х2 х 1;						86.	у х2 6х 8.
	Побудувати графіки функцій:
87.	1 х,		х ;0		;
87.	у		х 0;		;
	1,		х 0;
88.	х2 ,	х ;2		;
88.	у		х 2;	;
	4,		х 2;
89.	х2 1,		х ;0			.
89.	у		х 0;			.
	х2 1,		х 0;
							41

Лекція 6.

Границя функції.

1. Границя функції.

2.Невизначеність типу

3.Невизначеність типу

4.Невизначеність типу

від раціональних дробів.

від ірраціональних дробів.

5.Невизначеність типу .

6.Перша визначна границя.

7.Друга визначна границя.

1.Границя функції.

Стале число а називають границею змінної величини х, якщо для будь-якого насамперед заданого числа 0 можна вказати таке значення змінної х, що всі

наступні значення змінної будуть задовольняти нерівності х а .

Якщо число а є границею змінної величини х, то говорять, що х прямує до

границі а, і пишуть х а або limх а.

x а

Границя сталої величини дорівнює самій сталій, тобто limС С. Із визна-

x а

чення границі змінної слідує, що змінна величина не може мати двох границь, це число єдине.

Озн. Границею функції у f х при х, що прямує до а, називається таке

число b, якщо для будь-якого числа 0		існує число 0, таке, що для всіх х,
які задовольняють нерівність 0	х а	випливає	f x b	.

Позначають lim f x b.
x а

В теорії границь нуль – це мале число, а нескінченність – велике.

Зауваження: а ; а 0. 0

2. Невизначеність типу від раціональних дробів.

Для розкриття невизначеності необхідно чисельник і знаменник

поділити на xn , де n− найбільше значення степеня.
Приклад: lim	3x2		5x 6	3		2	5 6	.
		2				2
x	7x		9x 4		7
							9 4

Найбільше значення степеня n 2, тому ділимо чисельник і знаменник на x2:


		3x2	5x 6						5	6				5 6
								3					3					3 0 0		3
2			x	2	x	2		3	x		x	2	3				2
lim	x		x		x		lim		x		x										.
lim	2						lim		9		4										.
x 7x			9x		4		x 7		9		4		7		9	4		7 0 0	7
							x 7						7					7 0 0	7
		x2	x2		x2				x x2

3. Невизначеність типу від раціональних дробів.

Для розкриття невизначеності від раціональних дробів необхідно розк-

ласти чисельник і знаменник на множники і однакові скоротити.

Приклад: lim	3x2 5x 8			3 12	5 1 8	0		.
		2		2
x 1	3x		5x 2				0
				3 1 5 1 2

Розкладаємо квадратичні вирази на множники за теоремою Вієта і

отримаємо:
lim	(x 1)(3x 8)	lim	3x 8	3 1 8		11	11, (скоротили на x 1).
				3 1 2
x 1 (x 1)(3x 2)		x 1 3x 2			1

4. Невизначеність типу від ірраціональних дробів.

Для розкриття невизначеності від ірраціональних дробів необхідно по-

збавитись від ірраціональності помноживши чисельник і знаменник на спряже-

ний вираз. Спряженими називають такі ірраціональні вирази, які при множенні один на інший утворюють раціональні вирази.

Приклад:

lim

4 х

4 0

x 0

lim

4 х

lim

4 х

x 0

4 х

=lim

4 х 4 х

lim

x 0 х ( 4 х

4 х)

x 0 x ( 4 x

4 x)

x 0

4 x 4 x

5. Невизначеність типу .

Для розкриття невизначеності необхідно вираз представити у

вигляді дробу а ; в утвореному дробі помножити чисельник і знаменник на

спряжений вираз. В подальшому позбавитися утвореної невизначеності .

Приклад:

lim( 16x

10x

4x)

lim(

4x) lim

16x2 10x 5

16x2

10x 5

16x2

10x 5

16x2 10x 5 4x

lim

16x

10x 5 16x

lim

10x 5

16x

10x 5 4x

16x

10x 5 4x

Поділимо кожен елемент чисельника і знаменника на x, під коренем на x2 :

10x 5

lim

16x2 10x 5 4x

16x2 10x 5

					10			5			10	5			10 0
								5
	lim							x


										16 10 5 4				16 0 0 4

				16 10			5 4
	x

													2
10			10		5	x			x2				2
10			10		5

16 4		8 4
	6. Перша визначна границя.

lim

sin x

(1)

x 0

Приклад: lim

sin7x

x 0 3x

Скористаємося першою визначною границею:

lim

sin x

Введемо замі-

x 0 x

ну 7x y y 0

при x 0.

Маємо: lim

sin7x

lim

sin y

lim

sin y

x 0

y 0

y 0 3 y

7. Друга визначна границя.

lim(1

)аn в

eа

, e 2,72

(2)

х 3

2х 1

Приклад: lim

х 2

Безпосередня

підстановка

дає

невизначеність

1 , тому

скористаємося другою визначною границею: lim(1 1)аn в eа .

n n

Введемо заміну 1 1 х 3 . Зведемо до спільного знаменника і виразимо х через

х 2

n: х 5n 2. При чому, якщо х , то n :

х 3 2х 1

2 5n 2 1

1 10n 4 1

lim

lim 1

х 2

e10

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ 6.

Обчислити наступні границі:

90. lim х3 1;

x 1 х 1

х2 4х 3

92. lim

;

х2 х 2

94. lim

3x3

x 8

;

x x2 5x 6

96. lim

х3

;

x х2 х 6

98. lim

х 1

;

9х2 6x

100.

lim

х 1

;

4х 1

102.

lim

х4

8х 22

;

2х3 2

104.

lim

6x 3

;

x 5x3 2x 1

106.

lim

6х

4х

;

x9 4x2

108.

lim

2х2

7х 9

;

2х

110.

lim

9х2 8

;

x 3х4 2х2 6х

112.

lim

х2

5х 6

;

x 2

х2 4

114.

lim

х3

;

х4

x 1

116.

lim

9 х

;

x 9

118.

lim

х2

3х 2

;

x 2 2х2 3х 2

Границя функції

91. lim х 2 1 ;

x 2

93. lim

х3 8

;

х2 х 6

95. lim

x2 6x 3

;

x3 x 9

97. lim

3x3

x 8

;

x x2 5x 6

99. lim

;

х 1

101.

lim

х2 3х 2

;

2х3 2

103.

lim

х2

3х 4

;

2х2

3х 2

105.

lim

6х5

4х 3

;

4x10 4x2

107.

lim

х2 7х

;

x 2х

109.lim

9х2 8

;

x 3х2

2х 6

111.

lim

х2

;

x 2

х 2

113.

lim

х2

4х 3

;

x 1

х2 х 2

115.

lim

х2

;

x 4

x 2

117.

lim

х2

4х 3

;

x 1

х 1

119.

lim

1 х

;

x 1

х 1

120.

lim

х3

;

121.

lim

х 5

;

x 2 х2 х 6

x 5 2

х 1

122.

lim

;

123.

lim

х 2

;

x 0 1

х2 1

x 2

х 6 2

124.

lim

3 x

x 3

;

125.

lim

x 2

;

x 0

x 7

7 x

126.

lim

;

127.

lim

;

x 0

1 х 1 х

x 0

128.

lim(

х 1

х);

129.

lim(

х 1

х2 2);

ЛЕКЦІЯ 7.

Основні правила та формули диференціювання

1.Поняття похідної.

2.Механічний та геометричний зміст похідної.

3.Основні формули диференціювання.

4.Диференціал функції.

5.Особливі випадки диференціювання:

а) похідна неявної функції;

б) похідна функції, заданої параметрично;

в) похідна показникової функції;

г) похідна логарифмічної функції.

1. Поняття похідної.

Поняття похідної є одним з основних понять математичного аналізу. Розділ математики, в якому вивчається поняття похідної та її застосування до дослідження функцій, називають диференціальним численням.

У загальних рисах побудову диференціального числення було завершено у працях англійського фізика, астронома та математика І. Ньютона (1643–1727) та німецького філософа та математика Г. Лейбніца (1646–1716) до кінця XVII ст.

Ньютон прийшов до поняття похідної, розглядаючи задачу про миттєву

швидкість матеріальної точки, а Лейбніц під час розв’язування задачі про до-

тичну до кривої.

Строге обґрунтування диференціального числення на основі теорії границь

дав на початку XIX століття французький математик О. Коші.

Озн. Похідною функції в точці x0 називається граничне відношення при-

росту функції в точці x0 до приросту аргументу в цій же точці, якщо останній прямує до нуля.

		lim	у	у		(1)
		lim		у		(1)
		x 0 х
Виходячи	з означення, можна	отримати такий			алгоритм	знаходження

похідної f x у точці х:
1) задайте	приріст аргументу	х 0 і запишіть			значення	функції, що
відповідає значенню аргументу х х: f x x ;

2) знайдіть приріст функції, який відповідає приросту аргументу х:

у f x x f x .

3) знайти границю: lim у у .

x 0 х

2. Механічний та геометричний зміст похідної.

Задачі про миттєву швидкість та дотичну до кривої дають механічний та геометричний зміст похідної.

Механічний зміст похідної: величина миттєвої швидкості в момент часу t0

дорівнює значенню похідної від шляху у точці t0 . Тобто v t0 s t0 .

Геометричний зміст похідної: похідна f x функції f x у точці х0 є зна-

ченням кутового коефіцієнта дотичної до кривої у f x у точці з абсцисою х0 .

Тобто k lim у у .

x 0 х

Рівняння дотичної до кривої у f x у точці М0(х0; у0) має вигляд:

уу0 f x0 х х0 .

3.Основні формули диференціювання.

Запишемо основні правила та формули диференціювання:

функція

похідна

y c u

y c u'

y u v

y u' v'

y u v

y u'v u v'

u'v v'u

№

функція

похідна

№

функція

похідна

y C(const)

y 0

y x

y 1

y xn

y n xn 1

y ax

y ax lna

y ex

y loga x

y ln x

xlna

y sin x

y cosx

10.

y cosx

y sin x

11.

y tgx

12.

y ctgx

cos2 x

sin2 x

13.

y arcsin x

14.

y arcсоsx

1 x2

15.

y arctgx

16.

y arcctgx

1 х2

cos2 x

Приклад: Знайти похідні вказаних функцій:

в)

у cosх log9 x;

а) у 4х

б) у

;

5х13

arcsinx

г) у

;

д)

tg x3 4x

ln x

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 75 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.05.2019318.46 Кб10DELPHI-ЛР-14.doc
#
07.05.2019392.19 Кб3DELPHI-ЛР-15.doc
#
07.05.2019357.38 Кб2DELPHI-ЛР-16.doc
#
07.05.2019448 Кб3DELPHI-ЛР-17.doc
#
04.12.2018976.38 Кб17derzhavne_pravo_zar_kr (1).doc
#
30.05.2015626.1 Кб9dlja_agro.pdf
#
30.05.2015140.53 Кб21Dubenko.pdf
#
30.05.20151.33 Mб495Ekologiya_New.pdf
#
21.11.201959.05 Кб7Ekonomichna_Dumka_Starodavnoyi_Gretsiyi.docx
#
18.09.201978.7 Кб5Ekonomichny_analiz_yak_nauka_sformuvavsya_na_po...docx
#
30.05.201515.75 Кб49ento_studenti.docx