Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

диф исчисление

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.05.2015

Размер:

4.56 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 189 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Решение

lim	ln(1 x)1		x	1	lim (1	x)ln(1		x)	x
lim	x	2		x	lim (1	x	2
x 0		2			x 0		2


	lim ln(1		x)	1 1	1 lim ln(1			x)	1 .
	x 0		2x		2 x 0	x			2

Ответ: 21 .

1.2.5. Формула Тейлора

Рассмотрим функцию y=f(x), имеющую в окрестности точки х=а все производные до порядка (n+1) включительно, и поставим задачу: найти многочлен y=Pn(x) степени не выше n, для которого его значение в точке а, а также значения его производных по n-й порядок равны значениям при x=a выбранной функции и ее производных соответствующего порядка:

Pn(a) f (a), Pn(a)

f (a), Pn(a)

f (a),..., Pn(n)(a) f (n)(a).

Пусть искомый многочлен имеет вид:

Pn(x)=C0+C1(x-a)+C2(x-a)²+…+Cn(x-a)n.

При этом

Pn(x) C1

2C2(x

a) 3C3(x

a)2

... nCn(x

a)n 1 ,

P (x) 2 1

2 C

...

n(n 1)C

a)n

2 ,

.........................................................................................

P(n)(x) n(n 1)

...

2 1 C

Тогда

Pn(a) C0

f (a), Pn(a) C1

f (a),

Pn(a) 2C2

f (a), Pn(a)

2C3

f (a),...,

P(n)(a)

n(n

1)(n 2)...

3 2

1 C

f (n)(a).

Из формул (21.3) можно выразить коэффициенты Сi через значения производных данной функции в точке а.

Произведение последовательных натуральных чисел 1·2·3·…·(n-1)n называется факториалом числа n и обозначается

n! = 1·2·3·…·(n-1)n .

Дополнительно вводится 0!=1. Используя это обозначение, получим:

C0 f (a), C1 f (a), C2 2!1 f (a),...,Cn n1! f (n)(a).

Таким образом, искомый многочлен имеет вид:

	f (a)		f (a)		2	f (n)(a)	n
Рn(x) f (a)		(x a)		(x	a) ...		(x a) .
	1!		2!			n!

Обозначим через Rn(x) разность значений данной функции f(x) и

построенного многочлена Pn(x): Rn(x) = f(x) – Pn(x), откуда f(x) = Pn(x) + Rn(x)

или

f (x) f (a)		f (a)	(x	a)	f (a)	(x a)2 ...
f (x) f (a)	1!		(x	a)	2!	(x a)2 ...
	1!				2!
	f (n)(a)			n
			(x	a)	Rn(x).
		n!	(x	a)	Rn(x).

Полученное представление функции называется формулой Тейлора, а Rn(x) называется остаточным членом формулы Тейлора. Для тех значений х, для которых Rn(x) мало, многочлен Pn(x) дает приближенное представление функции f(x). Следовательно, формула Тейлора дает возможность заменить функцию y = f(x) многочленом y = Pn(x) с соответствующей степенью точности, равной значению остаточного члена Rn(x).

Формы остаточного члена в формуле Тейлора

Покажем, что Rn(x) = o(x-a)n. Из выбора многочлена Pn(x) следует, что

R (a)	R (a) ...	R(n) (a) 0. Применив для вычисления предела
n	n	n
		lim	Rn(x)
		lim	(x a)n
		x a	(x a)n

n раз правило Лопиталя, получим:

lim	Rn(x)	lim	Rn(x)	... lim	Rn(n 1)(x)	Rn(n)(a)	0.
	(x a)n		n(x a)n 1		n!(x a)	n!
x a		x a		x a

Утверждение доказано. Представление остаточного члена в виде Rn = o(x-a)n называется записью остаточного члена в форме Пеано.

Найдем еще один вид записи Rn(x). Представим его в виде

(x a)n 1

Rn(x) (n 1)! Q(x)

и определим вид функции Q(x). Из формулы Тейлора следует, что

		f (a)			f	(a)	2
f (x) f (a)			(x	a)			(x a) ...
f (x) f (a)		1!	(x	a)		2!	(x a) ...
	f (n)(a)		n	(x a)n 1
		(x	a)				Q(x).
	n!	(x	a)	(n		1)!	Q(x).

Пусть при заданных значениях х функцию от t (a < t < x):

и а Q(x)=Q. Рассмотрим вспомогательную

F(t) f (x) f (t)		x t	f (t)	(x	t)2	f (t) ...
F(t) f (x) f (t)	1		f (t)	2!		f (t) ...
	1			2!
(x t)n	f (n)(t)		(x t)n 1		Q.
n!			(n	1)!

При этом предполагается, что а и х приняли фиксированные значения. Тогда

F (t)

f (t)

(t)

2(x t) f

(t) ...

(x t)n 1

f (n)(t)

n(x t)n 1

f (n)(t)

1)!

(x t)n

f (n 1)

(t)

1)(x

t)n

t)n f (n 1)

(t)

(x t)n

1)!

то есть F(t) дифференцируема в окрестности точки а. Из предыдущих выкладок следует, что F(x) = F(a) = 0, поэтому к функции F(t) можно

применить теорему Ролля: существует t = (a < < x) такое, что F’( ) = 0. Тогда

(x )n	f (n 1)( )	(x )n	Q 0,
n!		n!

откуда Q = f(n+1) ( ). Используя это выражение, получим запись остаточного члена в форме Лагранжа:

R (x)	(x a)n 1	f (n 1)( ).
n	(n 1)!
	(n 1)!

Так как a < < x,

можно представить = а + (х – а), где 0 < < 1. При этом

R (x)

(x a)n 1

f (n 1)(a

(x a)).

1)!

Замечание. Если в формуле Тейлора принять а = 0, этот частный случай

называют формулой Маклорена:

f (x) f (0)

f (0)

...

f (n)(0)

n xn 1

(n 1)

( x).

(n 1)!

Разложение по формуле Тейлора

некоторых элементарных функций

Найдем разложения по формуле Тейлора при а = 0 (точнее, по формуле

Маклорена) функций y = ex, y = sin x, y = cos x, y = ln(1 + x),

y = (1 + x)m.

1) f(x) = ех.

f(x) = f ′(x) = … = f (n)(x) = ex, следовательно, f(0) = f ′(0) = … = f(n)(0) = 1.

Подставляя эти результаты в формулу Маклорена, получим

ex 1

...

xn 1

e x ,

n! (n 1)!

Отметим, что для любого х

														lim Rn(x)				0.
														n
2)	f(x) = sin x.
f (x)		cos x sin(x					), f (0)							1,
f (x)		cos x sin(x				2	), f (0)							1,
f	(x)	sin x	sin(x			2						), f		(0)		0,
f	(x)	sin x	sin(x			2			2			), f		(0)		0,
f	(x)	cos x	sin(x					3					), f	(0)			1,
f	(x)	cos x	sin(x					3		2			), f	(0)			1,
.............................................................
f (n)(x)		sin(x	n		), f (n)(0) sin											n	,
f (n)(x)		sin(x	n	2	), f (n)(0) sin										2		,
				2											2
f (n 1)(x) sin(x				(n 1)							), f (n 1)(					)	sin(	(n 1)		).
f (n 1)(x) sin(x				(n 1)				2			), f (n 1)(					)	sin(	(n 1)	2	).
								2											2

Разложение по формуле Маклорена имеет вид:

sin x x

...

sin

xn 1

sin

(n 1)

(n 1)!

В этом случае, как и в предыдущем, при всех значениях х

lim Rn(x) 0.

Можно предложить еще один вариант этой формулы:

	x3		x5	n	x2n 1		2n 2
sin x x				... ( 1)		o(x		).
	3!	5!			(2n 1)!

3) f(x) = cos x.

Таким же образом, как и для синуса, можно получить разложение по формуле Тейлора:

cos x 1

...

cos

xn 1

cos(

(n 1)

)

(n 1)!

n x2n

2n 1

... (

o(x

(2n)!

4) f(x) = ln(1 + x). Тогда

f (x)

x) 1 , f (x)

( 1)(1

x) 1 ,...,

f (n)(x)

(

1)n(n

1)!(1 x) n ,

f (n)(0) (

1)n(n

1)!, f (0) 0.

Следовательно,

n 1 xn

n 1

ln x

...

( 1)

o(x

5) f(x) = (1 + x)m. При этом

f (n)(x) = m(m - 1)…(m – n + 1)(1 + x) m-n,

f (n)(0) = m(m – 1)…(m – n +1). Тогда

x)m 1

m(m

1) x2 ...

m(m 1)...(m

1) xn o(xn 1 ).

Применение формулы Тейлора для приближенных вычислений

Заменяя какую-либо функцию, для которой известно разложение по формуле Тейлора, многочленом Тейлора, степень которого выбирается так, чтобы величина остаточного члена не превысила выбранное значение погрешности, можно находить приближенные значения функции с заданной точностью.

Найдем приближенное значение числа е, вычислив значение многочлена Тейлора при n=8:

e 1 1	1	1	...	1	2,71828.
	2!	3!		8!

При этом

R8 9!1 3 10 5.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ

«Формула Тейлора»

Задача 1.

Разложить многочлен

					x5	2x4	6x3	x2	5x 7
по степеням двучлена х + 3.
1) (x 3)5	2(x	3)4	6(x	3)3	(x 3)2		5(x	3)	7
2) (x 3)5	(x 3)4 32(x			3)3	200(x 3)2 716(x				3)	252
3) (x 3)5	38(x	3)4	92(x 3)3			156(x	3)2	627(x		3)	404
4) (x 3)5	5(x	3)4	33(x	3)3		117(x	3)2	2209(x		3)	2
5)! (x 3)5	13(x	3)4	72(x		3)3	215(x	3)2	1636(x		3)	212

Указание

Для вычисления коэффициентов разложения примените формулу Тейлора:

a	f (n)( 3)	.

n	n!

Решение

Вычислим коэффициенты многочлена Тейлора:

f (		3)		243		162		162	9	15	7	212
		a0	f (		3)	212		212;

				0!		1
				0!		1
f (x) 5x4					8x3 18x2				2x 5,
f	(	3)		405		216 1458 6 5 1636
		a1	f	(	3)	1636		1636;

				1!		1
				1!		1
f (x) 20x3						24x2		36x 2,
f	( 3)			540		216		108	2	430
		a2	f	(	3)		430		215;
		a2		2!		2			215;
				2!		2
f	(x) 60x2					48x		36,	f (	3)	540	144 36 432
		a3	f	(	3)	432		72;
		a3		3!		6		72;
				3!		6

f ( 4)(x)

f ( 5)(x)

f (6)(x)

120x		48,		f ( 4)( 3)		360	48	312
f ( 4)(	3)			312	13;
4!			24		13;
4!			24
f ( 5)(	3)		120		a5	f ( 5)( 3)	120	1;
f ( 5)(	3)		120		a5	5!	120	1;
						5!	120
... f (n)(x)				0	npu	n 6
0 npu		n		6.

Следовательно, разложение данного многочлена по степеням (х + 3) имеет вид:

x5 2x4 6x3 x2		5x 7
(x 3)5 13(x 3)4	72(x	3)3 215(x 3)2
1636(x	3)	212.

Задача 2.

Разложить функцию

f (x) x2 2x 5 3

по степеням х, пользуясь формулой Тейлора.

Указание

Вычислите а0 – а6 по формуле

a		f (n)(0)	.
a	n	n!	.
	n

Решение

f (0)	( 5)3	125		a0	125;
f (x)	3(x2	2x	5)2 (2x		2),	f (0)	150
a1	150	150;
a1	1!	150;
	1!
f (x)	6 4(x2		2x	5)(x	1)2	(x2	2x 5)2 ,
f (0)	30	a2	30	15;
f (0)	30	a2	2!	15;
			2!

f (x) 6 x2 2x 5 5x2

10x 1

6 (2x

2) 5x2

10x

1 (10x

10) x2

12(x

1)(10x2

10x

26),

f (0)

52;

f ( 4)(x)

24(15x2

30x

13),

f ( 4)(0)

f ( 5)(x)

24(30x

30),

( 5)(x)

24(30720

f (6)(x)

f (6)(0)

24 30

720

f (7 )(x)

...

a7 ...

В результате получаем:

720 6; 5!

f (x)	x2	2x	5 3
x6	6x5	3x4	52x3	15x2 150x 125.
Ответ: x6 6x5 3x4 52x3		15x2	150x	125.

Задача 3.

Получить многочлен Тейлора 2-й степени для функции

	y arctgx npu x0		0.
	Указание
Требуется найти
a	f (0), a f (0) u a			f (0)	.
a	f (0), a f (0) u a	2			.
0	1	2	2
			2

				Решение
a0	arctg0		0;
a1		1		1;

	1	x2	x 0
	1	x2	x 0
a2	1	1	x2	1	1	2x(1 x2 ) 2	0.
a2	1	1	x2	x 0	1	2x(1 x2 ) 2	0.
	2			x 0	2		x 0
							x 0

Следовательно, arctg x = x + o(x2).

Ответ: х.

Задача 4.

Написать многочлен Тейлора п-го порядка для функции y x2 ln x npu x0 1.

Указание

Для решения задачи требуется найти общий вид производной п-го порядка от данной функции.

Решение

Найдем подряд производные нескольких порядков от данной функции, а затем попробуем получить общий вид y(п) (1):

						y		2x ln x					x2	1			x 2 ln x							1	,	y (1)		1;
						y		2x ln x					x2		x		x 2 ln x							1	,	y (1)		1;
															x
						y		2 ln x				1		x		2	2 ln x					3,			y (1)		3;
																x
						y			2		2x 1 ,			y (1)				2;
									x
						y( 4)			2(		1)x 2			(		1)4 1		2	(4					3)! ,		y( 4)(1)			(	1)4 1 2 (4 3)!;
																		x4	2
					....................................................
						y	(n)		(	1)n 1 2				(n			3)!	,		y	(n)		(1)		(	n 1		2	(n	3)!
						y							xn	2				,		y			(1)		(	1)		2	(n	3)!
													xn	2
Тогда коэффициенты Тейлора равны:
a0			y(1)		0,				a1		y (1)			1,
a2				y (1)			3	,		a3		y (1)				1 ,
a2			2!				2	,		a3		3!				1 ,
			2!				2					3!				3
npu				n	4		an			(	1)n 1			2(n			3)!					(		1)n 1		2	.
npu				n	4		an						n!							n(n				1)(n 2)			.
													n!							n(n				1)(n 2)
Следовательно,
x	2	ln x			(x					3	(x	2				1	(x 1)		3
x		ln x			(x		1)			2	(x	1)				3	(x 1)
	( 1) 2				(x				4				( 1)n 1 2						(x					n		o(x		n
							1)			...														1)			1) .
		4	3 2				1)			...			n(n		1)(n			2)						1)			1) .
Ответ:
x	2	ln x			(x					3	(x	2				1	(x 1)		3
x		ln x			(x		1)			2	(x	1)				3	(x 1)
	( 1) 2				(x				4				( 1)n 1 2						(x					n		o(x		n
							1)			...														1)			1) .
		4	3 2				1)			...			n(n		1)(n			2)						1)			1) .

Задача 5.

Написать многочлен Тейлора 2п-го порядка для функции y cos2 x npu x0 0.

			Указание
Представьте функцию в виде
cos2 x		1 cos 2x			1		1 cos 2x
				2	2	2
и используйте стандартное разложение:
cos x 1	x2		x4	... (	1)	n x2n		o(x	2n 1	).

	2!		4!			(2n)!

Решение

Если обозначить cos2x = t, то

cos 2x

cost

n t2n

o(t

2n 1

...

( 1)

)

(2n)!

22 x2 24 x4

n 22n x2n

o((2x)

2n 1

4! ...

(

(2n)!

Тогда

cos

1 1 2 x2

23 x4

...

(

22n 1 x2n

o((2x)

2n 1

)

(2n)!

2 x2

23 x4

...

n 22n 1 x2n

2n 1

( 1)

(2n)!

o((2x)

Ответ: cos

2 x2

23 x4

...

(

n 22n 1 x2n

o((2x)

2n 1

(2n)!

Задача 6.

Вычислить приближенно

3 e

Указание

Воспользуйтесь формулой

ex 1 x	x2		x3	.
	2	6

Решение

1	1			1	1	1	1	1	58
		e 3	1							0, 716.

3 e				3	2	9	6	27	81

Ответ: 0,716.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 189 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке мат анализ

#
30.05.20154.56 Mб30диф исчисление.pdf
#
30.05.2015304.96 Кб30интегр исчисление.pdf
#
30.05.2015355.51 Кб30производная и исслед функции.pdf