2.1 Вопросы для самопроверки

1. Напишите формулы для вычисления расстояния между двумя точками и деления отрезка в данном отношении.

2. Как найти координаты середины отрезка?

3. Как найти угловой коэффициент прямой, если она задана общим уравнением?

4. Сформулируйте условия параллельности и перпендикулярности прямых.

5. Что представляет собой уравнение пучка прямых?

6. Напишите уравнение прямой, проходящей через две точки.

7. Как найти расстояние от точки до прямой?

3 Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве

Вектор– отрезок, имеющий определенную длину и направление. Любой вектор можно разложить по ортам координатных осей:

, где

х, у, z– проекции векторана оси координат,- орты (единичные векторы координатных осей).

Модуль(длина) вектораопределяется по формуле:

(3.1.1)

Если известны координаты начала и конца В()вектора, то векторможно записать следующим образом:

(3.1.2)

Скалярным произведениемдвух ненулевых векторовиназывается произведение их модулей на косинус угла между ними:

.

Отсюда нетрудно определить угол между векторами

. (3.1.3)

Если векторы изаданы своими проекциями=и=, тоскалярное произведение находится по формуле:

. (3.1.4)

Векторы ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю, т.е.:

. (3.1.5)

Векторным произведением двух векторов называется вектор , определяемый условиями:

1. вектор перпендикулярен векторами, т.е.,;

2. векторы ,иобразуют правую тройку;

3. длина вектора равна площади параллелограмма, построенного на векторахикак на сторонах, т.е.

.

Для векторов, заданных проекциями =и=,векторное произведениеимеет вид:

. (3.1.6)

Отсюда, условие коллинеарности векторов:

. (3.1.7)

Смешанным произведениемтрех векторов,иназывается число, равное скалярному произведению векторана вектор, т.Е.:

().

Геометрически модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на векторах,и, как на ребрах.

Если векторы заданы проекциями =,=и=, то смешанное произведение имеет вид:

. (3.1.8)

Условие компланарности(принадлежности трех векторов одной плоскости или параллельности плоскостям), имеет вид:

. (3.1.9)

Знание векторной алгебры во многом упрощает решение задач по аналитической геометрии в пространстве.

Так, уравнение плоскости, проходящей через заданную точку М(), перпендикулярно векторуимеет вид:

. (3.1.10)

Уравнение плоскости, проходящей через три точки: А(), В(), и С(), имеет вид:

(3.1.11)

Канонические уравнения прямой в пространстве имеют вид:

, (3.1.12)

где ()-точка, через которую проходит прямая;-проекции направляющего вектора прямой.

Уравнения прямой, проходящей через две точки, определяются так:

. (3.1.13)

Если прямая вида (3.1.12) перпендикулярна плоскости, заданной общим уравнением: , то выполняется условие:

. (3.1.14)

Рассмотрим несколько примеров применения изложенных выше теоретических положений.

Пример 6.

Записать вектор в системе орт и найти его модуль, если А(1, 2, 3);

В(0, 1, 5).

Решение.

Используя формулу (3.1.2) получим:

=(0-1)=.

Используя формулу (3.1.1), найдем модуль этого вектора:

(ед.дл.)

Пример 7.

Найти угол между векторами и.

Решение.

Используя формулу (3.1.3), получим:

,

что соответствует углу .

Пример 8.

Найти площадь треугольника, образованного двумя векторами и

, выходящими из одной точки.

Решение.

Площадь треугольника, построенного на векторах и, равна половине площади параллелограмма, построенного на этих же векторах как на сторонах, т.е. равнамодуля векторного произведения векторови:

.

Векторное произведение найдем по формуле (3.1.6):

Найдем модуль полученного вектора, используя формулу (3.1.1):

Тогда искомая площадь будет:

(кв.ед.)

Пример 9.

Найти объем пирамиды, построенной на трех некомпланарных векторах:

.

Решение:

Объем пирамиды, построенной на трех некомпланарных векторах как на ребрах, равен

, где,

где -смешанное произведение векторов.

Величину найдем по формуле (3.1.8):

=

Тогда (куб.ед.).

Пример 10.

Найти каноническое уравнение прямой, проходящей через две точки А(1,2,5) и В(0,1,2).

Решение:

Подставив координаты точек А и В в уравнение (3.1.13), получим:

;;.

Пример 11.

Найти уравнение плоскости, проходящей через три точки: А(1, 2, 3);

В(1, 1, 0) и С(2, 3, 1).

Решение:

Используя уравнение (3.1.11), получим:

(х-1),

Пример 12.

Через точку А(1, 0, 2) провести прямую, перпендикулярную плоскости

Решение.

Используем канонические уравнения прямой (3.1.12), подставив координаты точки А, получим:

.

Проекции направляющего вектора прямой найдем из условия перпендикулярности прямой и плоскости (3.1.14).

В нашем случае это будет:, тогда будем иметь:.