13

Экономико-математические методы – обобщающее название комплекса экономических и математических научных дисциплин, где изучаются сициально-экономические системы и процессы, т.е. это название комплекса экономико-математических дисциплин, являющихся сплавом экономики, математики, кибернетики.

Название «Экономико-математические методы» было введено в начале 60-х годов академиком В.С.Немчиновым. Впоследствии они стали составными частями науки о принятии управленческих решений, которая получила название «Исследование операций».

В настоящее время арсенал математических методов очень разнообразен. Каждый из этих методов позволяет решать определенный круг задач.

Система. - множество взаимосвязанных элементов, образующих определенную целостность, единство.

Элемент системы - часть системы, которая, исходя из цели и функций данной системы, считается неделимой.

Виды систем. Все системы можно разделить на две большие группы:

• материальные системы;

• идеальные (абстрактные) системы.

Материальные системы – множество элементов реального мира, существующих объективно, независимо от человека (здания, машины, учебные заведения, люди, экономические системы и т.д.).

Абстрактные системы – продукты человеческого мышления. К ним можно отнести систему знаний, теорий, гипотез, экономико-математические модели и др.

Экономические системы – предприятия, объединения, отрасли народного хозяйства, экономика страны. В любой экономической системе выделяются три подсистемы:

• производственно-технологическую,

• социальную,

• организационно-управленческую.

Научным принципом исследования систем является системный подход.

Сущность системного подхода состоит в учете взаимосвязей между элементами системы, между системой и внешней средой, в учете развития системы.

Модель – заменитель или аналог реальной системы, с помощью которого изучается поведение системы, получается о ней новая информация. В модели отражаются основные, существенные черты моделируемого объекта.

.

Моделирование – процесс построения модели и исследование поведения реального объекта на его аналоге – модели.

Метод моделирования основывается на принципе аналогии, т.е. возможности изучения реального объекта не непосредственно, а через рассмотрение его модели.

Виды моделей. Все модели можно разделить на две большие группы:

• физические,

• символические (абстрактные).

Физические модели строятся на принципах прямой аналогии. Примеры: модель самолета, модель двигателя, модель (макет) здания и т.д.

Символические (абстрактные) модели описывают структуру и функции изучаемого объекта с помощью символов и соотношений между ними, выражающих определенные зависимости, присущие оригиналу.

Большое место среди символических моделей занимают математические модели.

Математическая модель - заменитель или аналог реальной системы, где структура и функции реальной системы описываются с помощью математических и логических соотношений (уравнений, неравентств, функционалов).

Экономико-математическая модель – математическая модель, описывающая экономические процессы и явления.

Экономико-математическое моделирование – процесс построения математической модели и исследование на ней поведения социально-экономической системы.

Решение - набор значений переменных Х = (х₁, х₂, … х_n ).

Допустимое решение (допустимый план) - набор значений переменных Х = (х₁, х₂, … х_n ), удовлетворяющий системе ограничений. Все допустимые решения образуют область допустимых решений (область допустимых значений, область определения задачи).

Базисное решение – допустимое решение, которое соответствует координатам угловых точек области допустимых решений.

Оптимальное решение (оптимальный план) - набор значений переменных Х* = (х*₁, х*₂, … х*_n ), удовлетворяющий системе ограничений и доставляющий целевой функции экстремальное значение.

Базовая экономико-математическая модель. Составные части базовой экономико-математической модели.

Составные части базовой (типовой) экономико-математической модели:

• переменные

• ограничения

• целевая функция

Переменные – неизвестные, значения которых определяются в процессе решения задачи. Обозначаются символом Xj (j = 1, 2, …,n). Каждая переменная имеет конкретную единицу измерения (кг, шт, ц, га руб. и тд.).

Ограничения – записанные в математическом виде все требования условия задачи. Ограничения формируются в виде системы уравнений и неравенств. Для этого используются три типа соотношений:

= - равно

> - больше или равно (не менее)

< - меньше или равно (не более)

Ограничения могут накладываться на отдельные переменные, на часть их или на все.

Каждое ограничение имеет порядковый номер, название и содержание.

Каждое ограничение имеет конкретную единицу измерения.

Целевая функция (функционал, функция цели) – аналитическая (математическая) запить критерия оптимальности.

Критерий оптимальности - показатель качества функционирования системы с точки зрения достижения поставленной цели, т.е. он определяет целевую направленность в решении экономической проблемы.

Для построения модели необходима информация. Ее представляют технико-экономические коэффициенты и объемы ограничений.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

Для каждой задачи построить экономико-математическую модель.

Задача 1. Найти оптимальное сочетание посевов пшеницы и сахарной свеклы. Для этого отведено 1000 га пашни, 12000 чел.-час. трудовых ресурсов. Урожайность пшеницы – 20 ц с 1 га, сахарной свеклы – 200 ц с 1 га. Затраты труда на 1 ц пшеницы 1,6 чел.-час., сахарной свеклы - 0,7 чел.-час. Цена реализации 1 ц пшеницы 540 руб., сахарной свеклы – 120 руб. Критерий оптимальности – максимум продукции в денежном выражении

Задача 2. Фермерское хозяйство занимается производством овса и ячменя. Имеет следующие ресурсы: пашня - 600 га

труд - 15000 чел.-час.

На 1 га овса затрачивается 35 чел.-час. труда, ячменя – 20 чел.-час. Урожайность с 1 га овса 10 ц, ячменя – 25 ц.

Ожидаемая прибыль от реализации 1 ц овса – 350 руб., 1 ц ячменя – 100 руб.

По условиям севооборотов овсом занять не более 100 га.

Найти оптимальное сочетание посевов культур.

Критерий оптимальности – максимум прибыли.

Задача 3. Фермерское хозяйство занимается производством пшеницы и ячменя. Имеет следующие ресурсы: пашня - 600 га

труд - 15000 чел.-час.

На 1 га пшеницы затрачивается 20 чел.-час. труда, ячменя – 35 чел.-час. Урожайность пшеницы 25 ц с 1 га.

Ожидаемая прибыль с 1 га пшеницы 2500 руб., ячменя – 2000 руб.

По условиям заключенных контрактов пшеницы произвести не более 5000 ц.

Найти оптимальное сочетание посевов культур

Критерий оптимальности – максимум прибыли.

Задача 4. Фермерское хозяйство занимается производством пшеницы и овса. Имеет следующие ресурсы: пашня - 600 га

труд - 15000 чел.-час.

На 1 га пшеницы затрачивается 20 чел.-час. труда, овса – 35 чел.-час. Урожайность овса 10 ц с 1 га.

Ожидаемая прибыль с 1 га пшеницы 2500 руб., овса – 3500 руб.

По условиям заключенных контрактов овса произвести не более 10000ц.

Найти оптимальное сочетание посевов культур

Критерий оптимальности – максимум прибыли.

Задача 5. Фермерское хозяйство занимается производством пшеницы и ячменя. Имеет следующие ресурсы: пашня - 600 га

труд - 15000 чел.-час.

На 1 га пшеницы затрачивается 20 чел.-час. труда, ячменя – 35 чел.-час. Урожайность пшеницы 25 ц с 1 га.

Ожидаемая прибыль с 1 га пшеницы 2500 руб., ячменя – 2000 руб.

По условиям заключенных контрактов пшеницы произвести не более 7500ц.

По требованиям севооборота ячменем занять не менее 200 га.

Найти оптимальное сочетание посевов культур

Критерий оптимальности – максимум прибыли.

Задача 6. Фермерское хозяйство занимается производством пшеницы и ячменя. Имеет следующие ресурсы: пашня - 600 га

труд - 15000 чел.-час.

На 1 га пшеницы затрачивается 20 чел.-час. труда, ячменя – 35 чел.-час. Урожайность пшеницы 25 ц с 1 га, ячменя – 10 ц.

Ожидаемая прибыль от реализации 1 ц пшеницы 100 руб., ячменя – 200 руб.

По условиям севооборотов пшеницей занять не более 300 га.

Найти оптимальное сочетание посевов культур

Критерий оптимальности – максимум прибыли.

Задача 7. Фирма производит и продает столы и шкафы из древесины хвойных и лиственных пород, Расход каждого вида древесины в кубометрах на каждое изделие задан в таблице(1).

Таблица 1 – Исходные данные к таблице

Показатели	Расход древесины, м3		Цена изделия, тыс.руб
	хвойной	лиственной
Стол	0,15	0,2	0,6
Шкаф	0,3	0,1	1,5
Запасы древесины, м3	180	140

Определить оптимальное количество столов и шкафов, которые

следует поставлять на продажу для получения максимальной выручки.

Задача 8. Фирма производит одежду для спортсменов. Дополнительно фирма решила изготавливать шапки и подстежки из натурального меха.

Данные о затратах на производство этих изделий и запасы сырья представлены в таблице 1. Спрос на шапки составляет не менее 600 шт. в месяц, а подстежек – не более 400 шт. в месяц

Таблица 1 – Исходные данные

Сырье	Расход сырья на производство, дм		Средний запас в месяц, дм
	шапки	подстежки
Мех	22	140	65000
Ткань	1,5	30	5000
Оптовая цена за 1 шт., руб.	410	840

Определить план выпуска изделий, обеспечивающий максимальную выручку от продажи.

Задача 10. Фермерское хозяйство содержит молочных коров и овец. Располагает следующими земельными ресурсами: пашня - 600га,

сенокосы - 320 га

пастбища - 400 га.

Для производства кормов для одной коровы требуется 2 га пашни, 0,8 га сенокосов и 1 га пастбищ, а для одной овцы – 0,6 га пашни и 1,5 га пастбищ.

По заключенному договору шерсти необходимо произвести не менее 1.2 ц. Выход шерсти от одной овцы составит 2 кг.

Прибыли от одной коровы планируется получить 12000 руб., а от одной овцы - 2500 руб.

Определить оптимальное поголовье коров и овец, которое следует содержать для получения максимальной прибыли.

Задача 11. Цех выпускает трансформаторы двух видов. Для изготовления трансформаторов обоих видов используются железо и проволока. Общий запас железа – 4 т, проволоки – 10 т.

На один трансформатор первого вида расходуется 6 кг железа и 5 кг проволоки, а на один трансформатор второго вида расходуется 3 кг железа и 2 кг проволоки.

По плану необходимо произвести трансформаторов второго вида не менее 700 шт.

За каждый реализованный трансформатор первого вида завод получит прибыль 4 тыс.руб., второго – -1тыс.руб.

Составить план выпуска трансформаторов, обеспечивающий заводу максимальную прибыль.

Задача 12. Цех выпускает два вида деталей – А и В. Каждая деталь обрабатывается двумя станками, фонд времени которых составляет, соответственно 220, 400 часов

Необходимое время для обработки одной детали А составляет: на первом станке 12 мин., на втором – 15 мин. Необходимое время для обработки одной детали В составляет, соответственно 10 мин. и 18 мин.

Деталей А планируется выпустить не менее 100 шт.

Отпуская цена за одну деталь А составляет 60 руб., а за деталь В – 50 руб.

Составить план выпуска деталей, обеспечивающий цеху максимальную выручку.

Задача 13. Фирма производит для автомобилей запарсые части типа А и В. Фонд рабочего времени составляет 5000 чел.-час. в неделю. Еженедельные запасы полимерного материала составляет 10 т и листового железаи -12 т.

Для производства одной детали типа А требуется 1 чел.-час. труда, 2 кг полимерного материала и 5 кг листового материала а дли производства одной детали типа В – 2 чел.-час., 4 кг полимерного материала и 4 кг листового материала.

Деталей типа В необходимо произвести не менее 1000 шт.

Определить, сколько деталей каждого вида следует производить, чтобы обеспечить максимальный доход от продаж за неделю, если доход от продажи одной детали типа А и В составляет соответственно 1500 и 2000 руб.

Задача 14. При составлении суточного рациона кормления бычков используется сено и комбикорм.

В 1 кг сена содержится 0,6 кг кормовых единиц (к.ед.) и 50 г переваримого протеина (п.п.), а в 1 кг комбикорма, соответственно 1 к.ед и 130 г п.п.

Стоимость 1 кг сена составляет 80 коп., а 1 кг комбикорма – 6 руб. Питательность рациона должна быть не менее 12 кг к.ед. Переваримого протеина в рационе должно быть не менее 1300 г.

Сена в рационе должно содержаться не более 10 кг. Составить самый дешевый суточный рацион.

Задача 15. На кондитерскую фабрику поступили заказы на подарочные наборы конфет из магазинов. Возможные варианты наборов, их стоимость и товарные запасы на фабрике отражены в таблице 1.

Таблица 1 Исходные данные

Показатели	1-й набор конфет, кг	2-й набор конфет, кг	Товарные запаса на фабрике, кг
«Белочка»	0.4	0.3	400
«Маска»	0.3	0,2	200
Прибыль от реализации одного набора, руб.	80	50

Определить оптимальное количество подарочных наборов, которые фабрика может предложить магазинам и обеспечить максимальную прибыль от продажи, если наборов первого вида необходимо выпустить не менее 300 штук.

Тесты

1. Общие сведения о моделях

1. Модель – это:

а) аналог (заменитель) реального объекта или процесса с сохранением существенных свойств

б) описание всех свойств реального объекта или процесса

в) термин из области высокой моды

г) один из предметов, похожих друг на друга

2. Модель отражает:

а) существенные свойства моделируемого объекта

б) все возможные свойства моделирцемого объекта

в) одно из любых свойств моделируеиого объекта

г) нет правильного ответа

3. В зависимости от способа отображения свойств исследуемой системы

модели не делятся на:

а) физические

б) абстрактные

в) аналоговые

г) -математические

4. Математическая модель

а) описывает объект с помощью абстрактно-логических средств (знаков, чисел, графиков)

б) характеризует объект с помощью воспроизведения реальных форм и размеров объекта

в) имеет только функциональное сходство с оригиналом

г) нет правильного ответа

5. Экономико-математическая модель – это:

а) продукт экономико-математического моделирования

б) экономико-математические методы

в) комплекс экономико-математических дисциплин

г) раздел экономики

6. Экономико-математические модели по характеру описания модели подразделяются на :

а) динамические и стохастические

б) динамические и статистические

г) динамические и статические

д) все ответы правильные

7. Экономико-математическая модель по определению академика В. С. Немчинова - это

а) модель экономического явления или процесса с конкретными числовыми характеристиками

б) концентрированное выражение наиболее существенных взаимосвязей и закономерностей поведения экономической системы в математической форме

в) совокупность уравнений, функционалов, логических условий и других соотношений

г) система независимых эконометрических уравнений

8. Что не является составной частью экономико – математической модели?

а) переменные

б) ограничения

в) целевая функция

г) оптимальное решение

9. Элементами экономико-математической модели являются:

1. Переменные 2. Ограничения 3. Числовое значение целевой функции 4. Коэффициенты корреляции 5. Производственные функции 6. Коэффициенты при переменных и ограничениях – технико-экономические коэффициенты 7. Целевая функция 8.Объемные показатели ограничений – константы

Варианты ответа:

а) всё перечисленное

б) 1, 2, 6, 7, 8

в) 1, 2, 3, 6, 7

г) 1, 3, 4, 5, 8

10. Применение экономико-математических методов и моделей позволяет:

1. в значительной степени пересмотреть существующие методы бухгалтерского учета и экономического анализа;

2. использовать значительно большее количество финансовой информации;

3. более точно описать все возможные процессы в экономических системах;

4. производить альтернативные, многовариантные расчеты и делать на их основе прогнозы и рекомендации.

Варианты ответов:

а) 2, 3;

6) 1, 3;

в) 3, 4;

г) 1, 2.

11. Среди оптимизационных моделей в числе других можно выделить:

а) модели линейного, нелинейного, целочисленного, статистического программирования

б) модели линейного, нелинейного, целочисленного, параметрического программирования

в) модели линейного, нелинейного, целочисленного, синтетического программирования

г) все ответы верные