28.​ Базисы и системы координат. Уравнение множества точек на плоскости и в пространстве: определение, примеры.

Базисом на плоскости называются два любых неколлинеарных вектора этой плоскости, взятые в определенном порядке.

Пусть   и  – некоторый базис и  – произвольный вектор, тогда существуют два единственным образом определенных числа x и y, такие, что

Числа x и y называются координатами вектора  в данном базисе. В этом случае также пишут 

Справедливы следующие свойства.

1. При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.

2. При сложении 2х и больше векторов координаты почленно складываются.

34.​ Линейные объекты в Rn: прямые, отрезки, гиперплоскости. Скалярное произведение в арифметических пространствах.

Векторное (линейное) пространство - математическая структура, кот. формируется набором элементов, называемых векторами, для кот. определены операции сложения др. с др. и умножения на число - скаляр. Скаляром м.б.элемент вещественного, комплексного и любого др. поля чисел. Частным случаем векторов подобного пространства являются обычные евклидовы вектора, кот. используются для демонстрации физических сил.

Уравнения прямой в пространстве:

Векторное параметрическое уравнение прямой в пространстве, где  - радиус-вектор некоторой фиксированной т. лежащей на прямой,  - ненулевой вектор, коллинеарный этой прямой (её направляющимй вектор),  -радиус-вектор произвольной точки прямой.

Параметрические ур-ния прямой в пространстве:где  - координаты некоторой фиксированной т. лежащей на прямой;  - координаты вектора, коллинеарного этой прямой.

Каноническое ур-ние прямой в пространстве:где  - координаты некоторой фиксированной т. лежащей на прямой;  - координаты вектора, коллинеарного этой прямой.

Общее векторное ур-ние прямой в пространстве:

Поскольку прямая является пересечением 2х различных непараллельных плоскостей, заданных соответственно общими ур-ниями: и  то ур-ние прямой можно задать системой этих урний:

Векторное ур-ние прямой в пространстве:

Ур-ние прямой в пространстве можно записать в виде векторного произведения радиуса-вектора произвольной точки этой прямой на фиксированный направляющий вектор прямой : , где фиксированный вектор , ортогональный вектору , можно найти, подставляя в это ур-ние радиус-вектор какой-нибудь 1ой известной точки прямой.

Отрезки. Обычно у отрезка прямой неважно, в каком порядке рассматриваются его концы: т.е. отрезки и представляют собой 1 отрезок. Если у ОТ. определить направление, т.е. порядок перечисления его концов, то такой отрезок называется направленным. Напр., выше указанные направленные отрезки не совпадают. Обобщение приводит к понятию вектора - класса равных по длине и сонаправленных направленных отрезков.

Отрезок прямой - мн-во вещественных чисел , удовлетворяющих нерав. , где заранее заданные вещ. числа и наз. концами отрезка. В противоположность им, остальные числа, удовлетворяющие , наз. внутренними точками отрезка. Отрезок обозначается : . Любой отрезок заведомо включён в мн-во вещественных чисел. Отрезок -замкнутый промежуток. Число наз. длиной числового отрезка .

Гиперплоскость -  подпространство с размерностью, на единицу меньшей, чем объемлющее пр-тво. Напр., для 2мерного пр-тва гиперплоскость есть прямая (отражаемая ур-нием ), для 3хмерного - плоскость и т. д.

Ур-ние гиперплоскости:  - нормальный вектор к гиперплоскости, тогда ур-ние гиперплоскости, проходящей через т. , имеет вид Здесь  -скалярное произведение в пр-тве . В частном случае ур-ние принимает вид

Расстояние от т. до гиперпл.:  - нормальный вектор к гиперпл., => расст. от т. до гиперпл. даётся формулой ( - произвольная т. гиперпл.).

Скалярное произведение на мн-ве геометрических векторов вводится, какСкалярное произведение любого вектора и какого-то единичного вектора есть проекция (ортогональная проекция) вектора на направление этого единичного вектора: Скалярное произведение м. б. записано через операцию ортогонального проецирования:(- проекция вектора на направление,  - проекция вектора на направление).