1. Элементы комбинаторики. Пояснить на примерах.

Число способов проведения опыта.

1. Правило произведения

Пусть необходимо выполнить n действий: 1ое действие можно выполнить К₁ способами, 2ое К₂ , n-ое К_n способами. Тогда все действия можно выполнить К₁* К₂ *К₃ *….*К_n способами. Пример 1: сколько существует способов бросить игральную кость: 1)1 раз – 6; 2) 2 раза – 6*6=36 и тд.

2. Размещения

Пусть есть множество состоящее из n элементов. Возьмем упорядоченное подмножество состоящее из К элементов. {a₁ , a₂ … a_n} – размещение. Число всех размещений . 1) = n^k (размещение с повторениями). 2) = n * (n-1)….(n-k+1) ( без повторений) Пример 2: есть числа 1,2,3,4,5. 1) сколько существует трехзначных чисел, если все цифры в нем а) разные A_5^3 5*4*3=60 б) могут быть одинаковы A_5^3 = 53 = 125. 2) сколько пятизначных чисел можно составить. P5 = 5! = 120 , если все числа разные.

3. Перестановки

Упорядоченные наборы из всех n элементов множества. Число перестановок P_n = n!

4. Сочетание

Есть множество состоящее из n элементов. Выбираем неупорядоченное содержание К элементов. Число таких подмножеств – сочетание. Сочетания отличаются только составом элементов, но не порядком. Пример: в группе 10 студентов, выбирают 3. Сколько существует способов. = =120 способов.

Св-ва сочетаний: 1)=n 2)=1, 0!=1 3) =

------------------------

Свойства:

1. А+Ā=Ω 4)A* Ø= Ø

2. A*Ā= Ø 5)A*Ω=A

3. A+ Ø=A 6)(A+B)*C=AC+BC

1. Случайные величины. Типы случайных величин и способы их задания.

Случайные величины – функции. Случайной величиной называется величина, которая при проведении опыта принимает значение, заранее неизвестно какое.

Типы случайных величин: 1)дискретной (прерывной) с.в. называется величина, которая может принять конечное или счетное число значений. Множество значений счётно если их можно занумеровать натуральными числами.

2)непрерывной называется с.в. которая принимает все значения у какого-либо конечного или бесконечного промежутка.

Способы задания:

1)табличный (первая строка таблицы содержит возможные значения случайной величины, расположенные в порядке возрастания, а вторая – их вероятности. Сумма вероятностей второй строки таблицы равна единице.)

x₁ x₂ x_n

p₁ p₂ p_n

2)Графический (В прямоугольной системе координат строят точки ( xi , pi ), а затем соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения.)

. Законом распределения ДСВ называется соответствие между её значением и соответств. Вероятностями этих значений.

Задаётся: Аналитически (в виде формулы)

Таблицей: (первая строка таблицы содержит возможные значения случайной величины, расположенные в порядке возрастания, а вторая – их вероятности. Сумма вероятностей второй строки таблицы равна единице.)

x1 x2 xn

p1 p2 pn

Законом распределения.

F(x)=P(X<x) – функция распределения.

2. Арифметические операции над дискретными случайными величинами

Дискретные случайные величины Х и У называются независимыми, если не зависимы при любых I и j, события X=x_i, Y=y_j. Пусть случайная величина Х принимает x₁,x₂,x₃…x_n с вероятностью p₁,p₂,p₃…p_n

Сумма. Суммой ДСВ Х и Y называется новая ДСВ, Z=X+Y, которая принимает все значения вида =x_i+y_j с вероятностями P_ij, причём P_ij=P(X=x_i, Y=y_i)=P(X=x_i)P(Y=y_j). Если ДСВ Х и Y – независимы, то P_ij=p_i+q_j

Разность/произведение. Разностью/произведением ДСВ Х и Y называется новая ДСВ Z=X-Y (Z=XY), которая принимает все значения вида Z_ij=x_i-y_j (Z_ij=x_iy_j) с такими же вероятностями, с какими ДСВ Z=X+Y принимают соответствующие значения, то есть p_ij=p_i-q_j (p_ij=p_iq_j)

Произведение KX. Произведением KX ДСВ x на пост. величину k называется ДСВ Z=kx, которая с теми же вероятностями, что и Х принимает значения равным произведением значения случ. величины Х. То есть Z_i=kx_i

Степень. Квадратом случайной величины Х, то есть х² называется новая ДСВ Z=x², которая с теми же вероятностями, что и Х принимает значения равные квадраты значений случайной величины Х, то есть z_i=