Тервер-экзамен2

2013-2014 учебный год ФМФ2 Т.А.Спиридонова

Задачи для подготовки к экзамену

по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»

1. Игральная кость бросается два раза. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков примет значение от 4 до 10.

2. В вычислительной лаборатории имеются 5 клавишных автоматов и 3 полуавтомата. Вероятность того, что за время выполнения некоторого расчета автомат не выйдет из строя, равна 0,95, для полуавтомата эта вероятность равна 0,8. Студент производит расчет на наудачу выбранной машине. Найти вероятность того, что до окончания расчета машина не выйдет из строя.

3. В двух цехах изготавливается однотипная продукция. Производительность первого цеха в четыре раза больше, чем второго. Изделия высшего качества составляют в среднем для первого цеха 90%, для второго- 92%. Какова вероятность того, что наугад взятое изделие окажется высшего качества. Изделие оказалась высшего качества. Какова вероятность, что его изготовили в 1 цехе.

4. Вероятность выживания бактерий после радиоактивного излучения равна 0,01. Найти вероятность того, что из 500 облученных бактерий останется а) хотя бы одна; б) не более двух.

5. Вероятности появления независимых событий А, В и С равны соответственно 0,9; 0,8; 0,95. Какова вероятность того, что не произойдет хотя бы одно из трех событий.

6. Выживаемость икры рыб составляет 20%. Найти вероятность того, что из 200 икринок а) выживет только 42; б) не выживет от 162 до 170 икринок.

7. Слово ВЕРОЯТНОСТЬ разделили на буквы, три из них выложили в ряд. Какова вероятность, что получится слово ОСЬ.

8. Из коробки, в которой 3 белых и 2 черных шара, вынимают три шара и складывают в другую коробку. Найдите вероятность того, что а) два черных шара окажутся в одной коробке; б) в разных коробках.

9. В коробке 12 шаров: 5 красных, 4 синих и 3 белых. Случайным образом вынимают 4 шара. Какова вероятность, что среди них а) будет 1 белый шар, б) не будет синих шаров.

10. Три стрелка производят по одному выстрелу в мишень. Вероятности их попадания: первого- 0,9; второго- 0,8, третьего- 0,6. Найдите вероятность хотя бы одного попадания в мишень; вероятность ровно одного попадания в мишень.

11. В первой коробке 5 белых и 3 черных шара, во второй- 2 белых и 4 черных шара. Из каждой коробки извлекают по два шара, затем из этих четырех шаров наудачу берут один. Какова вероятность, что этот шар черный.

12. В группе 50% студентов – отличники, 15% - неуспевающие. Данную задачу отличник решает с вероятностью 0,9; неуспевающий – с вероятностью 0,1, а остальные студенты – с вероятностью 0,65. Вызванный студент решил задачу. Какова вероятность, что этот студент – отличник.

13. Найти Р(А), Р(В), Р(В/А), если Р(А+В)=0,8; Р(АВ)=0,3; Р(А/В)=0,6. Зависимы ли события А и В?

14. Монету подбрасывают 5 раз. Найдите вероятность выпадения орла хотя бы два раза.

15. Вероятность того, что телевизор потребует ремонта в течение гарантийного срока, равна 0,2. Найти вероятность того, что в течение гарантийного срока из пяти телевизоров а) потребуют ремонта два телевизора; б) хотя бы один не потребует ремонта.

16. Даны распределения двух независимых случайных величин:

Х	-2	0		У	-1	1
Р	0,5	0,5		Р	0,25	0,75

Z=2X-3Y-10. Найдите M(Z), D(Z).

17. М(Х)=0,8. Найдите х2 и р4 по заданному распределению случайной величины Х:

Х	-2	?	1	2
Р	0.1	0.3	0.2	?

Найдите дисперсию случайной величины Х, среднее квадратическое отклонение. Найдите функцию распределения F(x), постройте график F(x).

18. Дано распределение случайной величины Х:

Х	0	1	2	3
Р	р1	0,2	р3	0,3

Найдите р₁, р₃, если М(Х)=1,9.

19. Два покупателя независимо друг от друга делают по одной покупке. Вероятность того, что покупку сделает первый покупатель, равна 0,9, а вероятность того, что второй – 0,6. Найдите распределение, математическое ожидание и дисперсию случайной величины, равной числу покупок, сделанных покупателями. Найдите F(x) и построить ее график.

20. Х и У –независимые случайные величины. М(Х)=1, М(У)=3, D(X)=1, D(Y)=9.

Z=X- 5У. Найдите М(Z) и D (Z).

21. Х и У – случайные величины. D(X)=4, D(Y)=9, r(X;Y)= -0,72. Найдите D(X+Y),

D(X-2Y).

22. Дано двумерное распределение дискретных случайных величин (Х, У). Найти одномерные законы распределения Х и У, условное математическое ожидание М(Х/У= 3), М(У/Х=4). Найдите ковариацию cov(X,Y) и коэффициент корреляции r(X,Y).

Х \ У	1	3	4
1	0,05	0,19	0,24
4	0,12	0,13	0,27

23. Задана функция плотности распределения непрерывной случайной величины Х:

Найти с, функцию распределения F(х), изобразить графики F(x), f(x).Найти М(Х), D(Х), моду, медиану, квантиль уровня 0,8, Р(Х>1).

24. Случайная величина Х имеет равномерное распределение на отрезке [3,7]. Найти f(x), F(x), M(X), D(X), P(2<X<4)

25. Дано Х  N(m, 4), P(X<1)=0,023

Найти 1) Р ( 2<X<3); 2) Р ( Х< 4); 3) x_0,25

26. Дано Х  N(2, σ²); P(X>3)=0,16

Найти 1) Р ( 3<X<4); 2) Р ( Х< 1); 3) x_0,9

27. Вес пачек с рисом имеет нормальное распределение с М(Х)= 500г и средним квадратическим отклонением, равным 9 г. Найдите вероятность того, что вес пачки с рисом будет от 480 до 505 г.

Найдите квантиль уровня 0,10.

Сформулируйте правило трех сигм.

28. По сгруппированным данным, представленным в таблице, где – частота попадания значений признака Х в промежуток

2-4	4
4-6	6
6-8	19
8-10	12
10-12	9

найдите:

выборочные оценки М(Х), D(X), ;

несмещенную выборочную оценку D(X), ;

выборочные оценки моды, медианы,

постройте гистограмму и график выборочной функции распределения F_n(x);

29. Случайная величина Х распределена по биномиальному закону. Распределение выборочных значений Х представлено в таблице:

	1	2	3	4
	2	5	13	15

Методом моментов найдите точечную оценку параметра p указанного распределения Х, если число испытаний в каждом опыте m=4.

30. Случайная величина Х имеет геометрическое распределение. Выборочные значения Х представлены в таблице:

	3	4	5	6
	30	25	10	5

Методом моментов найдите точечную оценку параметра p указанного распределения Х.

31. Дана выборка наблюдений признака Х~ N(m,²):

Х: 4, 6, 9, 5, 1

С надежностью =0,9 найдите интервальную оценку математического ожидания и укажите ее точность;

На уровне значимости проверьте гипотезу о значении математического ожидания, равном 10.

32. По заданному распределению выборки:

	2	5	8	9
	10	3	12	15

Найдите выборочную оценку математического ожидания, моду, медиану, выборочную дисперсию. Используя абсолютные частоты, постройте полигон частот.

33. По данным 12 рейсов установлено, что в среднем машина затрачивает на поездку до магазина 73 мин. Допустив, что время поездки есть нормальная случайная величина, на уровне значимости 0,05 проверить гипотезу , если =4 мин.

Решите задачу двумя способами: а) используя Т-критерий; б) используя интервальную оценку математического ожидания.

34. При анализе зависимости между двумя признаками Х и У по 20 наблюдениям получены следующие данные:

Оцените наличие линейной зависимости между признаками Х и У. Будет ли коэффициент корреляции статистически значимым?

35. При анализе зависимости между двумя признаками Х и У по 15 наблюдениям получены следующие данные

Оцените наличие линейной зависимости между признаками Х и У. Будет ли коэффициент корреляции статистически значимым?

36. Дано Х~N(m,σ²). С надежностью 95% найдите доверительный интервал для математического ожидания и дисперсии по сгруппированным данным:

хi	-0,5	-0,4	0,2	0,6	0,8
ni	3	2	1	5	4

Сборник задач по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» ВАВТ:

№ 1.4, 1.5, 1.8, 1.13, 1.19

№ 2.9, 2.10, 2.11, 2.16, 2.20

№ 3.18, 3.20, 3.24, 3.28, 3.48,3.55

№ 4.4, 4.11, 4.28, 4.30, 4.34, 4.36

№ 5.6, 5.9, 5.17, 5.20, 5.29, 5.33, 5.35

№ 5.39, 5.40, 5.42, 5.45, 5.49, 5.52, 5.54

№ 6.3, 6.6, 6.19, 6.22, 6.25, 6.27, 6.29

№ 6.32, 6.33, 6.34, 6.37, 6.38, 6.39, 6.40

№ 9.4, 9.5, 9.6, 9.7, 9.8, 9.9, 9.10, 9.14, 9.16, 9.17, 9.20, 9.22

5