1. Задачи / Образцы выполненных СРС 1-12 МАТЕСО / 9 / Демидов_СРС_9

Федеральное агентство по образованию

Томский политехнический университет

Кафедра Оптимизации систем управления

Отчет по выполнению самостоятельной работы студента № 9

«Симплекс-метод»

Выполнил студент группы 8512

Демидов А. С.

Принял к.т.н., доцент

Ротарь В. Г.

Томск – 2004

1. Исходные данные:

,

при условиях:

,

,

.

2. Решаем задачу линейного программирования симплекс-методом:

Строим симплекс-таблицу с данными для данной задачи:

Так как симплекс-метод работает на минимизацию целевой функции, то необходимо данную целевую функцию привести к канонической форме минимизации: .

				-1	-1	-1	-1	-1	100	100
1		100	3’595	6	12*	4	4	3	1	0	*
2		100	2’892	6	3	10	4	7	0	1
3			648’700	1’201	1’501*	1’401	801	1’001	0	0

После занесения значений в таблицу необходимо записать значения в 3 строку по следующей формуле: . Пример вычисления для : . Аналогично вычисляются все остальные значения. Значение целевой функции вычисляется следующим образом: .

Необходимо вывести искусственные переменные из базиса, не смотря на то, что они показывают оптимальный план.

Определяем, какая переменная войдет в базис по формуле:

Судя по 3 строке , k=2.

Определяем, какая базисная переменная выйдет из базиса по следующей формуле:

Записываем в последний столбец таблицы соответствующие . В нашем случае r=1.

Вводимые в базис переменные помечаются *.

Итерация 2. Теперь необходимо перейти к новому базису. Для этого пересчитываем коэффициенты матрицы A. Так как искусственная переменная вышла из базиса, то соответствующий ей столбец вычеркиваем.

				-1	-1	-1	-1	-1	100
1		-1			1				0
2		100			0	9*	3		1	*
3					0	900*	300		0

Рассчитываем целевую функцию: .

Значение целевой функции стало меньше, что говорит об улучшении плана.

Заносим значения в 3 строчку по формуле: . Пример для : . Аналогично вычисляем остальные значения.

Полученные значения говорят о том, что план не оптимален, так как они больше нуля. Необходимо продолжать итерации до тех пор, пока все значения в 3 строке не станут меньше или равны нулю.

Определяем, какая переменная войдет в базис:

Максимальная из является , k=3.

Определяем, какая базисная переменная выйдет из базиса:

Для этого заполним последний столбец. Пример заполнения 1 строки последнего столбца: . На данной итерации r=2.

За первые две итерации вывелись искусственные переменные. Теперь перебор базиса ведется по вершинам действительного, а не искусственного симплекса.

Теперь пересчитываем значения и переходим к следующей итерации, при этом столбец с искусственной переменной убираем из таблицы.

Итерация 3. Все действия производим аналогично предыдущим шагам.

				-1	-1	-1	-1	-1
1		-1			1	0
2		-1			0	1	*		*
3					0	0	*

Как видно план улучшился. В базис вводится новая переменная.

Итерация 4.

				-1	-1	-1	-1	-1
1		-1			1		0
2		-1			0	3	1
3					0		0

Так как на данной итерации в 3 строке все значения меньше или равны 0, то делаем вывод, что искомое значение найдено.

В базис входят переменные . Оптимальное решение , а максимальное значение целевой функции будет равно .

3. В предшествующих СРС, а именно СРС-4, СРС-5, СРС-6 и СРС-7, был получен такой же результат. Следовательно, симплекс-метод дает правильный результат.

4