4.3. Методические указания к выполнению контрольной работы № 6 и варианты контрольных заданий

• Контрольная работа № 6 охватывает следующие теоретические вопросы: основы теории атома водорода (по Бору), волны де Бройля, соотношение неопределенностей Гейзенберга, элементы квантовой механики, распределение электронов в сложном атоме, состав атомного ядра и его энергия связи, закон радиоактивного распада.

• Решая задачи на поглощение (или испускание) атомом света с использованием теории Н. Бора, необходимо иметь в виду, что, как возбужденные состояния, так и основное состояние электрона в атоме водорода, имеют отрицательные значения полной энергии. Для основного состояния это Е(n=1) = –13,56 эВ. После поглощения энергии кванта света h < |E(n = 1)|, энергию конечного состояния можно определить на основании закона сохранения энергии: E(n) = E(n = 1) + h.

• При вычислениях скорости частицы (или ее импульса) надо различать случаи классических и релятивистских частиц. Если кинетическая энергия измеряется несколькими электрон-вольтами, то релятивистскими эффектами можно пренебречь.

• В задачах темы «Соотношение неопределенностей»: если даны линейные размеры области l, в которой находится частица, то можно считать х  l; если известен модуль импульса , но неизвестно его направление, то полагаютр  р.

• Обратите внимание на различие в зависимостях энергии микрочастиц от главного квантового числа для различных потенциалов взаимодействия. В случае бесконечно глубокой потенциальной ямы Е(n) = Е(n = 1)n², тогда как для атома водорода .

• Если волновые функции электрона не являются комплексными, то знак модуля волновой функции можно опустить . Координаты, соответствующие максимальной или минимальной вероятности нахождения микрочастицы в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками, необходимо определять по общим правилам поиска экстремумов функций действительного аргумента.

• При соединении свободных протонов и нейтронов в связанное состояние в ядре какого-либо элемента, выделяется энергия связи. Это приводит к соответствующему уменьшению массы системы Е_связи = mc². В самом общем случае величину mc² можно найти как разность между величинами полной энергии – массы исходных реагентов в свободном состоянии и полной энергии – массы конечных продуктов реакции. Если величина дефекта массы положительна , то реакцияэкзотермическая, то есть, энергия выделяется. В противоположном случае реакция эндотермическая.

• При решении задач на явление радиоактивности следует учесть, что если время распада t мало по сравнению с периодом полураспада данного радиоизотопа, то число распавшихся ядер N можно находить по формуле N = N₀t.

Примеры решения задач контрольной работы № 6

Пример 1. Пользуясь теорией Бора, покажите, что энергия электрона в атоме водорода принимает дискретный ряд значений. Определите энергию электрона, находящегося на первой боровской орбите.

Дано: m = 9,110^-31 кг; е = 1,610^-19 Кл; ₀ = 8,8510^-12 Ф/м; n = 1; h = 6,6310^-34 Джс.

Найдите: Е.

Решение. Энергия электрона, находящегося на n – ой орбите, складывается из потенциальной и кинетической: Е = Е_пот + Е_кин. Потенциальная энергия электрона определяется как Е_пот = е_n, где _n – потенциал электрического поля на расстоянии r_n, созданный ядром атома водорода.

где |е| – заряд ядра. Следовательно,

Кинетическая энергия электрона

где _n – скорость электрона на n – ой орбите.

По закону Кулону

(1)

С другой стороны, по второму закону Ньютона

(2)

Принимая во внимание постулат квантования орбит

, (3)

решая систему уравнений (1), (2) и (3), получим

.

В окончательном виде для энергии электрона в атоме водорода получаем:

Е₁ = -

где n – 1, 2, 3, …, то есть энергия принимает дискретный ряд значений. При n = 1 (первая боровская)

Е₁ = -

|Е₁| = .

Пример 2. Какой кинетической энергией должен обладать протон, чтобы длина волны де Бройля протона равнялась его комптоновской длине волны?

Дано: _Б =  _С.

Найдите: Е_к.

Решение. Длина волны де Бройля _Б и комптоновская _С длина волны определяются по формулам:

_Б =  _С = .

Импульс движущегося протона

р = 

Так как _Б =  _С, то р = тс и mc = откудаа

Е_к = Е – Е₀,

где Е = полная энергия,Е₀ = m₀c² – энергия покоя.

Е_к = Е₀=m₀c²;

Е_к = 1,67∙10^-27∙9∙10¹⁶= 6,23∙10^-11 (Дж) = 389 (МэВ).

Пример 3. Атом испустил фотон с длиной волны 0,55∙10^-6 м. Продолжительность излучения 10 нс. Определите наименьшую погрешность, с которой может быть измерена длина волны излучения.

Дано:  = 0,55∙10^-6 м; t =10^-8 с; с = 3∙10⁸ м/с.

Найдите: .

Решение. Энергия фотона

Откуда

Соотношение неопределенностей Гейзенберга для энергии и времени

Пример 4. Электрон находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Определите вероятность обнаружения электрона в центральной трети такой ямы, если электрон находится в возбужденном состоянии с квантовым числом равном трем.

Дано: n = 3; .

Найдите: W.

Решение. В квантовой механике вероятность нахождения электрона в дифференциально малом интервале около заданной точки (в нашем случае в интервале от х до (x + dx) определяется квадратом модуля волновой функции:

Вероятность W обнаружения частицы в достаточно большом интервале от х₁ до х₂ вычисляется интегрированием:

В записанных формулах функции (х) является нормированной волновой функцией, описывающей данное энергетическое состояние микрочастицы. В бесконечно глубокой яме волновая функция электрона для n – го энергетического уровня имеет вид:

где l – ширина потенциальной ямы. Учтем, что по условию n = 3; и произведем вычисления

Здесь мы используем тригонометрическую связь квадрата синуса угла и косинуса двойного угла. Возьмем интеграл по частям:

Значения синусов четного числа  равны нулю, поэтому получим для вероятности обнаружения электрона в центральной трети потенциальной ямы значение W = 0,333.

Пример 5. Определите, при какой ширине одномерной потенциальной ямы дискретность энергии электрона становится сравнимой с энергией теплового движения при температуре 300 К.

Дано: T = 300 К; m = 9,1∙10^-31 кг; k = 1,38∙10^-23 Дж/с; h = 6,63∙10^-34 Дж∙с.

Найдите: l.

Решение. Энергия электрона Е, находящегося в потенциальной яме шириной l на n – ом энергетическом уровне, равна

Дискретность (разность) Е энергии на n – ом и (n + 1) – ом уровнях выразится соотношением

Энергия теплового движения электрона

где k – постоянная Больцмана. Приравнивая Е = W, выразим ширину ямы l:



Наименьшая ширина ямы будет при n = 1

(м).

Пример 6. Определите возраст древних деревянных предметов, у которых удельная активность изотопа углерода ¹⁴С составляет 3/5 от удельной активности этого же изотопа в современных деревьях.

Дано: ; Т_1/2  5570 лет.

Найдите: t.

Решение. По определению, активность изотопа определяется числом распадов в единицу времени

По закону радиоактивного распада, число оставшихся ядер определяется зависимостью:

N(t) = N(0)e^-t ,

где  – постоянная радиоактивного распада, связанная с периодом полураспада соотношением

С учетом этого можно записать

где А₀ = N₀.

Удельная активность – это активность образца, отнесенная к единице его массы:

По условию: или, еслиm₁ = m₂. Выразим активности через величину периода полураспада и прологарифмируем:

Для возраста древнего дерева получим:

Равенство размерностей очевидно. Используя условие задачи, получим t = 4105 лет  4100 лет.

Пример 7. Определите дефект массы ядра лития Li и энергию связи нуклонов в этом ядре.

Дано: Z = 3, А = 7.

Найдите: m, Е.

Решение. дефект массы ядра определяется соотношением

m = Zm_р + (А - Z) m_n – M_я.

Откуда

M_я = M_а – Zm_е.

Следовательно.

m = Z(m_р + m_е) + (А – Z)m_n – M_a.

Замечая, что m_р + m_е = М_Н, где М_Н – масса водорода. Окончательно найдем

m = Z М_Н + (А – Z)m_n – M_a.

После подстановки численных данных получим, что

m = 31,00783 + (7 – 3)1,00867 – 7,01601 = 0,04216 а.е.м.

Энергию связи найдем из соотношения

E = mc².

Коэффициент пропорциональности с² может быть выражен двояко:

с² = 910¹⁶ м²/с²

или

с² = = 910¹⁶ Дж/кг.

В последней формуле, перейдя к внесистемным единицам, получим

с² = 931 МэВ/а.е.м.

С учетом этого искомая формула для энергии связи примет вид

E = 931m (МэВ).

E = 9310,04216 = 39,2 (МэВ).