fix1

OSTRYE, A UGOL S OSX@

OZ ; TUPOJ.

~

~

~

~

~

~

~

zADA^A 2. dANY DWA WEKTORA ~a = 2i

j

+ 3k

b = 3i

+ 4j

;

5k:

~

~

3~a

; ~

~

nAJTI WEKTORY (~a + b) (~a ; b)

;2b (5~a ; 4b):

rE[ENIE. iMEEM KOORDINATY WEKTOROW

~a = f2 ;1 3g

~

b = f3 4 ;5g:

1)

~

;5g = f2 + 3

;1 + 4 3 + (;5)g =

~a + b = f2 ;1 3g + f3 4

= f5 3 ;2g

~

~

~

~

ILI

~a + b = 5i + 3j ; 2k

2)

~

;5g = f2 ; 3

;1 ; 4 3 ; (;5)g =

~a ; b = f2 ;1 3g ; f3 4

= f;1 ;5 8g

~

~

~

~

ILI

~a + b = ;i ; 5j + 8k

~ ~

~

3)

3~a = 3 f2 ;1 3g = f6 ;3 9g ILI 3~a = 6i ; 3j + 9k

;

~

;5g

= f;6 ;8 10g

4)

2b = ;2 f3 4

~

~

~

~

ILI

;2b = ;6i ; 8j + 10k

5)

~

f2 ;1 3g ; 4

f3 4

;5g

=

5~a ; 4b = 5

= f10 ;5 15g ; f12 16

;20g = f;2 ;21 35g

~

~

~

~

ILI

5~a ; 4b = ;2i ; 21j + 35k:

zADA^A 3.

dOKAZATX, ^TO TO^KI

A(8

;6 7) B(2 ;2 3)

C(;1 0 1)

LEVAT

NA

ODNOJ PRQMOJ.

rE[ENIE.

oBRAZUEM DWA L@BYH WEKTORA, NAPRIMER AB

I AC.

;!

;!

~

; ;!AB = ~c ;~a:

rIS. 20.

b = ;!AD = ;!AC

wEKTOR DRUGOJ DIAGONALI BD RAWEN RAZNOSTI WEKTOROW

;!

BD

= AD

AB = (~c

;

~a)

;

~a

= ~c

;

2~a:

;!

;! ; ;!

wEKTOR ;;!MD RAWEN RAZNOSTI WEKTOROW ;!AD I ;;!AM. nAJDEM WEKTOR ;;!AM.

tAK KAK

;;!AMk;!AC

I DLINA WEKTORA

;;!AM

SOSTAWLQET

2/5

OT DLINY WEK

-

2

TORA

;!AC,

TO MOVNO ZAPISATX

;;!AM =

5~c:

iTAK

2

3

;;!MD = ;!AD ; ;;!AM = (~c ; ~a) ; 5~c = 5~c ;~a:

aNALOGI^NO WEKTOR

2

;;!MB =

;!AB ; ;;!AM = ~a ; 5~c:

zADA^A 6. dANA RAWNOBEDRENNAQ TRAPECIQ ABCD, W KOTOROJ m~; EDI-

NI^NYJ WEKTOR W NAPRAWLENII OSNOWANIQ AB

~n

EDINI^NYJ WEKTOR

~

;!

;

o

,

W NAPRAWLENII STORONY AD, UGOL MEVDU \TIMI WEKTORAMI = 45

DLINA OSNOWANIQ AB = 8 DLINA BOKOWOJ STORONY AD = 3 p

2. tRE-

BUETSQ RAZLOVITX WEKTORY STORON AB BC

;! ;!

CD DA I WEKTORY DIAGONALEJ AC

I BD PO WEKTORAM m~ I n~ (RIS.21.)

;! ;!

;!

;!

;!AB KOLLINEAREN WEK-

rE[ENIE.

wEKTOR

TORU m~ I EGO DLINA W 8 RAZ BOLX[E DLINY

WEKTORA m~, PO\TOMU

AB

= 8m~

;!

aNALOGI^NO ;!AD ~n I EGO DLINA W 3p

BOLX-

2

;!AD =k3p

~n:

rIS. 21.

[E, T.E.

2

;!DA =

3p

~n:

;

2

p

;!AC = ;!AD + ;!DC

= 3

wEKTOR

2n~ ; 2m:~

;!BC = ;!AC ; ;!AB = (3

p

p

tOGDA

2~n ; 2m~) ; 8m~ = 3

2 ~n ; 10 m:~

wEKTOR DIAGONALI

+ CD = (3p

n~

2m~) = 3p

BD =

BC

2

10m~) + (

2

~n

12

m:~

;!

;!

;!

;

;

;

zADA^A

7.

dANY DWE TO^KI

M1(x1 y1 z1)

I

M2(x2 y2 z2):

nAJTI KOORDINATY TO^KI, LEVA]EJ NA OTREZKE

M1M2

I DELQ]EJ

DLINU \TOGO OTREZKA W OTNO[ENII m : n = : (rIS. 22.)

rE[ENIE.

pUSTX TO^KA M3(x3 y3 z3); ISKOMAQ TO^KA. oBRAZUEM

DWA KOLLINEARNYH WEKTORA

;;;!M1M3 = f(x3

; x1) (y3

; y1) (z3

; z1)g

I

;;;!M3M2 = f(x2

; x3) (y2

; y3) (z2

; z3)g

dLINY \TIH WEKTOROW OTNOSQTSQ KAK

rIS. 22.

j;;;!M1M3j : j;;;!M3M2j = m : n = :

aNALOGI^NO DLQ WEKTOROW

;;;!M1M3 = ;;;!M3M2.

|TO RAWENSTWO W

KOORDINATNOJ FORME RAWNOSILXNO SISTEME

8 yx33

8

x3 = x1 + x2

; yx11 == ((yx22

;yx33))

1 +

=

>

y3 = y1

+

y2

:

>

;

;

)

1 +

< z3

; z1

= (z2

; z3)

< z3 = z1

+ z2

>

>

1 +

:

:

m : n = 1 : 1

w ^ASTNOSTI, PRI DELENII OTREZKA POPOLAM

= 1 I KOORDINATY SEREDINY OTREZKA

Mc(xc yc zc)

NAHODQTSQ KAK

SREDNEE ARIFMETI^ESKOE KOORDINAT KONCOW OTREZKA

xc

= x1 + x2

yc = y1 + y2

zc = z1 + z2

:

2

2

2

rE[ENIE.

lEGKO PROWERITX, ^TO WEKTORY

~a I

~

NE KOLLINE-

b

ARNY, PO\TOMU ONI OBRAZU@T BAZIS NA PLOSKOSTI I MOVNO ZAPISATX

WEKTOR ~c

~

W WIDE IH LINEJNOJ KOMBINACII ~c = ~a + b:

kAK UVE OTME^ALOSX RANEE,

RAZLOVITX WEKTOR PO BAZISU ; ZNA-

^IT NAJTI KOORDINATY WEKTORA W \TOM BAZISE. zAPISYWAEM SISTEMU

URAWNENIJ DLQ OPREDELENIQ

I ;

KOORDINAT WEKTORA ~c:

8

;11 =

(;3) +

5

6)

=

8

= 2

1

:

<

;

2 =

(

;

4) +

(

;

)

<

=

;

1

~

:

tAKIM OBRAZOM,

~c = 2

~a

b:

:

;

zADA^A

9.

rADIUS-WEKTOR TO^KI M(x y z) SOSTAWLQET S OSX@ OX

UGOL = 60o S OSX@ OZ UGOL = 45o, DLINA WEKTORA

j

OM

= 8 A

;;! j

KOORDINATA y > 0. nAJTI KOORDINATY TO^KI M (RIS. 23.)

rE[ENIE. dLQ NAHOVDENIQ KOORDINAT

TO^KI M WOSPOLXZUEMSQ FORMULAMI DLQ NA-

HOVDENIQ NAPRAWLQ@]IH KOSINUSOW WEKTORA

OM

;;!

cos =

x

)

x =j ;;!OM j cos =

o

OM

= 8

;;!

rIS. 23.

cos 60j

= 8 j(0:5) = 4

p

= 4p

cos =

z

)

z =

;;!OM

j

cos = 8

cos 45o = 8

2

2

:

OM

j

2

j ;;! j

KOSINUSOW

cos2 + cos2 + cos2 = 1:

oTS@DA:

cos =

p1 ; cos2 ; cos2 :

dALEE OSTAWLQEM TOLXKO ZNAK "PL@S" PERED KORNEM, T.K. KOORDINATA

y DOLVNA BYTX POLOVITELXNOJ. pOLU^IM

cos = q1 ; (1=2)2 ; (p2=2)2 = q

1o

;

1=4 ; 1=2 = 0:5:

iTAK, cos = 0:5, T.E. UGOL = 60 :

tOGDA IZ FORMULY cos =

y

NAJDEM

y =j ;;!OM j cos = 8 0:5 = 4:

OM

j ;;! j

TO^KA

M IMEET KOORDINATY

M(4 4p2 4):

iTAK,

~

~

( ~a b) = (~a b):

5. pRI SKALQRNOM UMNOVENII WEKTORNYH MNOGO^LENOW SOHRANQ-

@TSQ PRAWILA ALGEBRY DLQ SKALQRNYH WYRAVENIJ, NAPRIMER:

~

2

2

~ ~ 2

(~a b)

= ~a

2(~a b) + b

:

ORDINAT.

~

eSLI ~a = fx1 y1 z1g b = fx2 y2 z2g, TO

~

+ y1y2 + z1z2:

(~a b) = x1x2

2.2.3. pRILOVENIQ SKALQRNOGO PROIZWEDENIQ

1.

nAHOVDENIE DLINY WEKTORA. iZ SWOJSTWA 3 SLEDUET

j~aj = p

; OB]AQ FORMULA DLINY WEKTORA:

~a2

2.

nAHOVDENIE UGLA MEVDU WEKTORAMI. iZ OPREDELENIQ SKALQR-

NOGO PROIZWEDENIQ

(~a

~

~

~

b)

=)

(~a b) =j ~a j j b j cos '

cos ' =

~

:

3.

nAHOVDENIE PROEKCII WEKTORA NA WEKTOR.

j ~a j j b j

iZ WYRAVENIQ SKA-

LQRNOGO PROIZWEDENIQ

(~a

~

(~a

~

~

pr~~a POLU^AEM

pr~~a =

b)

:

j

j

b

b

~

4.

j

b j

pROWERKA USLOWIQ PERPENDIKULQRNOSTI WEKTOROW.

~

~

iZ

~a ? b

SLEDUET

(~a b) = 0

I NAOBOROT:

5.

nAHOVDENIE RABOTY SILY.

~

~

rABOTA SILY F

PO PEREME]ENI@ S RAWNA SKALQRNOMU PROIZWE-

o P R E D E L E N I E. wEKTORNYM PROIZWEDENIEM

~

[~a b] DWUH

~

WEKTOROW ~a I b NAZYWAETSQ TRETIJ WEKTOR ~c, UDOWLETWORQ@]IJ

TREM USLOWIQM:

~

1) WEKTOR ~c PERPENDIKULQREN WEKTORAM ~a

I b

2) DLINA WEKTORA ~c

^ISLENNO RAWNA PLO]ADI PARALLELOGRAMMA,

POSTROENNOGO NA WEKTORAH ~a

~

I b, I RAWNA PROIZWEDENI@ DLIN \TIH

WEKTOROW NA SINUS UGLA

' MEVDU NIMI

j ~c j=j [~a

~

~

b] j=j ~a j j b j sin '

gEOMETRI^ESKI MODULX WEKTORNOGO PROIZWEDE-

NIQ RAWEN PLO]ADI PARALLELOGRAMMA, POSTROEN-

NOGO NA WEKTORAH

~a

~

I b (RIS. 25)

~c

=

[~a

~

= SPARAL::

j

j

j

b]

j

rIS. 25.

NQET ZNAK:

~

~

[~a b] = ;[b ~a]

TAK KAK PRI POWOROTE OT WEKTORA

~

~a MENQETSQ NA PROTIWOPO-

b K

WOMU WEKTORU:

~

~

~

[~a b] = 0

~a k b:

~

~

j [~a b] j=j ~a j j b j

TAK KAK sin ' = sin

2

= 1:

w KOORDINATNOJ FORME WEKTORNOE PROIZWEDENIE KRATKO MOVNO ZAPI-

SATX W WIDE OPREDELITELQ 3-GO PORQDKA, W PERWOJ STROKE KOTOROGO STO-

~

~

~

QT BAZISNYE WEKTORA i

j

k , A WO WTOROJ I TRETXEJ - KOORDINATY

PEREMNOVAEMYH WEKTOROW:

~

~

~

i

j

k

~

y1 z1 :

[~a b] = x1

~

1

~

SPARAL: = j [~a b] j

STREUG: =

2 j [~a

b] j:

~

; L@BOE ^ISLO:

~c = [~a b]

3. fIZI^ESKIE PRILOVENIQ

(MOMENT SILY I T.P.)

~

~

~

~

~

([~a b] ~c) = ([~c

~a] b) = ([b ~c] ~a) = ([~a

b] ~c) = ~a b ~c: