fix1

4:

8 x = a sin t

< y = b cos t:

:

x I y MEVDU SOBOJ

zDESX LEGKO ISKL@^ITX PARAMETR t I SWQZATX

a WTOROE { NA

b ZATEM WOZWEDEM OBE ^ASTI \TIH URAWNENIJ W

KWADRAT I SLOVIM URAWNENIQ

8 x=a = sin t

2

2

)

x2

+ y2 = 1:

< y=b = cos t

a

b

:

pOLU^ILI URAWNENIE \LLIPSA S CENTROM W NA^ALE KOORDINAT I POLU-

OSQMI a I b:

(rIS.95).

rIS. 96

rIS. 95.

5:

8

x = a sin2 t

2

t:

< y = b cos

:

t E]< PRO]E.

w \TOM PRIMERE DEJSTWIQ PO ISKL@^ENI@ PARAMETRA

dLQ \TOGO DOSTATO^NO RAZDELITX PERWOE URAWNENIE NA

a WTOROE {

NA

b I SLOVITX URAWNENIQ. pOLU^IM URAWNENIE PRQMOJ W OTREZKAH

x

+ y

= 1:

a

b

w SILU TOGO, ^TO 0 sin2 t 1

I

0 cos2 t 1 TO 0 x a I

6:

8 x = sin 2t

< y = 2 ; sin 2t:

:

sKLADYWAQ URAWNENIQ, POLU^IM URAWNENIE PRQMOJ

x + y = 2:

nO W SILU TOGO, ^TO

j sin 2tj 1

TO

;1 x 1 I

1

y 3 I GEOMETRI^ESKIM OBRAZOM ISHODNOGO URAWNENIQ BUDET

TOLXKO OTREZOK PRQMOJ,ZAKL@^ENNYJ MEVDU TO^KAMI

A(;1 3) I

B(1 1): (rIS.97).

7:

8 x = 2

< y = cos t:

:

j cos tj 1

TO

;1 y 1 A

x = 2: i MY

w SILU TOGO, ^TO

POLU^AEM WERTIKALXNYJ OTREZOK.

(rIS.98).

rIS. 99.

9:

8

x = 1 + t

2

:

< y = t

:

t SLEDU@]IM OBRAZOM : IZ PERWOGO URAWNE-

iSKL@^IM PARAMETR

NIQ IMEEM

t = x ; 1:

pODSTAWIM WYRAVENIE DLQ t WO WTOROE

URAWNENIE, POLU^IM

10:

8 x = 4 sin2 t

< y

= cos t:

:

t SLEDU@]IM OBRAZOM : IZ PERWOGO URAWNE-

iSKL@^IM PARAMETR

NIQ IMEEM

x = 4 sin2 t = 4(1

; cos2 t):

pODSTAWIM WYRAVENIE DLQ

cos t = y IZ WTOROGO URAWNENIQ, POLU^IM

x = 4(1 ; y2)

)

x ; 4 = ;4y2

) y2 = ;

1

(x ; 4)

4

|TO URAWNENIE PARABOLY S WER[INOJ W TO^KE O0(4 0)

OSX@ SIMMET-

RII { OX I WETWQMI, NAPRAWLENNYMI WLEWO. tAK KAK

j cos tj 1

0 sin2 t 1

IMEEM :

; 1 y 1

A 0 x 4:

rIS. 100.

rIS. 101.

rIS. 102.

8

x = sin

t

11:

2

< y = cos t:

t

SLEDU@]IM OBRAZOM: WTOROE URAWNENIE

iSKL@^IM PARAMETR

:

ZAPI[EM W WIDE

2 t

2 t

2 t

y = cos t = cos

; sin

= 1 ; 2 sin

:

2

2

2

pODSTAWIM WYRAVENIE DLQ

sin

t

= x

IZ PERWOGO URAWNENIQ

2

y = 1 ; 2x2

)

y ; 1 = ;2x2

) x2 = ;

1

(y ; 1):

2

|TO URAWNENIE PARABOLY S WER[INOJ W TO^KE O0(0 1) OSX@ SIMMET-

RII -

OY

I WETWQMI,

NAPRAWLENNYMI WNIZ.

w SILU TOGO, ^TO

j cos tj 1

j sin(t=2)j 1 IMEEM:

;1 y 1

A ;1 x 1:

i MY POLU^AEM, ^TO ISHODNOMU PARA-

14:

8 x = ln cos t

< y = ln sin t:

:

pOSTROIM GRAFIK \TOJ ZAWISIMOSTI NEPOSREDSTWENNO, OTMETIW SRA-

=

1

'

2 sin '

1

'

= e

= 1 +

1

= 1 cos '

= cos

'

3

oKRUVNOSTX

aSTROIDA

cIKLOIDA

REMENNYH x y I z, T.E. URAWNENIEM WIDA

Ax + By + Cz + D = 0:

(1)

1.

pLOSKOSTX ZADANA TO^KOJ M0(x0 y0 z0) I WEKTOROM NORMA-

LI

~

W KA^ESTWE KOTOROGO MOVET BYTX WZQT L@BOJ

N = fA B Cg

WEKTOR, PERPENDIKULQRNYJ PLOSKOSTI. (rIS.107.)

w \TOM SLU^AE DLQ SOSTAWLENIQ URAWNENIQ

PLOSKOSTI MY BEREM NA NEJ PROIZWOLXNU@

TO^KU M(x y z)

OBRAZUEM WEKTOR

N = fA B Cg I ;;;!M0M = f(x ; x0) (y ; y0) (z ; z0)g

~

ISPOLXZUQ IH SKALQRNOE PROIZWEDENIE

~

= 0:

N ;;;!M0M

iLI W KOORDINATNOJ FORME

A (x ; x0) + B (y ; y0) + C (z ; z0) = 0:

(2)

M0(5 ;1 7)

N = f2 4 ;3g.

TO^KU

PERPENDIKULQRNO WEKTORU ~

rE[ENIE. iSPOLXZUEM URAWNENIE (2). pODSTAWLQEM W NEGO WMES-

TO KO\FFICIENTOW

~

A B C KOORDINATY WEKTORA N A WMESTO

(x0 y0 z0); KOORDINATY TO^KI M0:

2 (x ; 5) + 4 (y + 1) ; 3 (z ; 7) = 0

)

2x + 4y ; 3z + 15 = 0:

zADA^A 2. sOSTAWITX URAWNENIE PLOSKOSTI, PROHODQ]EJ ^EREZ

TO^KU TO^KU

M0(1 2 ;6)

PERPENDIKULQRNO WEKTORU

;!P Q

SOEDINQ

-

@]EMU TO^KI P (1 ;5 2) I

Q(5 ;7 ;1):

TO^KU

M0(1 2 ;6)

PERPENDIKULQRNO OSI

OX:

rE[ENIE.

iSHODNOE URAWNENIE TO VE.

kOORDINATY TO^KI, ^EREZ

KOTORU@ PROHODIT PLOSKOSTX, IZWESTNY. w KA^ESTWE WEKTORA NORMALI

~

W DANNOM SLU^AE MOVNO WZQTX WEKTOR

~

N = fA B Cg

i = f1 0 0g {

ORT OSI OX:

tAKIM OBRAZOM,

URAWNENIE PLOSKOSTI

1(x ; 1) + 0(y ; 2) + 0(z + 6) = 0

) x ; 1 = 0

ILI x = 1:

(;;;!M1M

;;;!M1M2 ;;;!M1M3) = 0

)

x ; x1

y ; y1

z

; z1

x2

; x1

y2 ; y1

z2

; z1

= 0:

(3)

x3

; x1

y3 ; y1

z3 ; z1

1-OJ STROKI, POLU^IM

rASKRYWAQ \TOT OPREDELITELX PO \LEMENTAM

OB]EE URAWNENIE PLOSKOSTI.

zADA^A 4.

sOSTAWITX URAWNENIE PLOSKOSTI, PROHODQ]EJ ^EREZ TRI

TO^KI M1(3

;2 2)

M2(;3 1 2) M3(;1 2 1):

rE[ENIE.

wOZXMEM NA PLOSKOSTI PROIZWOLXNU@ TO^KU

M(x y z)

I OBRAZUEM 3 WEKTORA, LEVA]IE W \TOJ PLOSKOSTI:

;;;!M1M = f(x ;

3) (y + 2)

(z ; 2)g

;;;!M1M2 = f;6

3 0g

-

;;;!M1M3 = f;4

4

;1g.

a TEPERX ZAPI[EM USLOWIE KOMPLANAR

NOSTI \TIH WEKTOROW W KOORDINATNOJ FORME S POMO]X@ SME[ANNOGO

PROIZWEDENIQ

x ; 3

y + 2 z

; 2

;6

3

0

= 0:

;4

4

;1

1-OJ STROKI

rASKRYWAEM \TOT OPREDELITELX PO \LEMENTAM

(x ; 3) (;3)

; (y + 2) (6) + (z ; 2) (;12) = 0:

rAZDELIM WSE WYRAVENIE NA

(;3)

(x ; 3) + 2 (y + 2) + 4 (z ; 2) = 0

)

x + 2y + 4z ; 7 = 0:

N

= [;;;!M1M2 ;;;!M1M3]:

iTAK

~

;;;!1 2

;;;!1 3

nAJDEM KOORDINATY WEKTOROW

M M I

M M :

;;;!M1M2 = f;3 ; 3 1 + 2 2 ; 2g = f;6 3 0g

;;;!M1M3 =

f;

1

;

3 2 + 2 1

;

2

g

=

f;

4 4

1

g

:

rIS. 109.

;

~

~

~

i

j

k

~

~

~

;6

3 0

=

;3

i ; 6

j ; 12 k:

;4

4~

;1

pODSTAWLQEM KOORDINA-

iTAK, WEKTOR NORMALI N = f;3 ;6 ;12g:

PERESE^ENIQ PLOSKOSTI S OSQMI KOORDINAT:

pUSTX x = 0

y = 0,

TOGDA PO URAWNENI@ PLOSKOSTI POLU^IM

z = 6: pOLU^AEM TO^KU M1(0 0 6):

aNALOGI^NO :

x = 0

z = 0

)

y = ;3: pOLU^AEM TO^KU

M2(0 ;3 0):

bEREM

y = 0 z

= 0

POLU^AEM

x = 2

I TO^KU

rIS. 110.

rIS. 111.

nAHODIM TO^KI PERESE^ENIQ PLOSKOSTI S OSQMI KOORDINAT:

pUSTX

x = 0

y = 0,

TOGDA PO URAWNENI@ PLOSKOSTI POLU^IM

z = 1:

pOLU^AEM TO^KU

M1(0 0 1):

aNALOGI^NO : PRI x = 0 z = 0 WY^ISLQEM

y = 1: pOLU^AEM TO^KU

M2(0 1 0):

bEREM

y = 0

z = 0 POLU^AEM x = 1

I TO^KU M3(1 0 0):