Рис. 5.9
щихся от конца линии на расстоянии y = λ k (k − целое число), напря- 2
жение имеет максимальные значения (пучности – жирные точки на рис. 5.8), а токи – нулевые значения (узлы). В точках, которые отстоят от
конца линии на расстоянии y = λ (2k + 1) , существуют узлы (полые точ- 4
ки на рис. 5.8) напряжения и пучности тока. При этом узлы и пучности тока и напряжения не перемещаются по линии. Стоячую волну можно представить как результат наложения падающей и отраженной волн с одинаковыми амплитудами.
§5.7 Входное сопротивление линии без потерь при холостом ходе
При холостом ходе ток в конце линии равен нулю I 2 = 0 . Поэтому можно записать (из 17)
Z вх х.х |
= |
U |
= |
U |
2 cos(βy) |
= − j |
Z |
в |
= − j |
|
L0 |
C0 |
|
= jx |
|
I |
U 2 |
sin(βy) |
tg(βy) |
tg(βy) |
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z в
На рисунке 5.9 приведена функция – tg( y) , которая в интервале от 0 до π / 2 является положительной, следовательно, Z вх х.х имеет емкостной характер
(множитель − j ) и изменяется по модулю от ∞ до0 . Далее в
интервале от |
π / 2 до π функ- |
ция – |
tg( y) |
отрицательна. В |
этом |
случае |
Z вх х.х имеет ин- |
дуктивный характер и изменяется от 0 до ∞ . И так далее, таким образом, изменяя длину отрезка линии без потерь, можно имитиро-
вать емкостное или индуктивное сопротивление любой величины. Практически это свойство используется при высокой частоте в различных радиотехнических устройствах.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В точках линии, в которых |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
существует узлы тока и пучно- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сти напряжения, линия может |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
быть представлена резонансным |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
контуром с параллельным со- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
противлением емкости и индук- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тивности, а в точках, в которых |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
имеются |
узлы напряжения |
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пучности тока, ту же линию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
можно |
представить |
резонанс- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ным |
контуром с последователь- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ным |
соединением |
емкости |
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
индуктивности. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При |
коротком |
замыкании |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 5.10 |
линии |
(U2 = 0, Z2 = 0 ) из урав- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нений (17) определяем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
( y) = I |
2 zвs in(βy); |
. |
|
(17г) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I ( y) = I 2 cos(βy). |
|
|
|
|
|
|
В этом случае уравнения для мгновенных значений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u = I2m zвs in(βy) cos(ωt) |
(17д) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i = I2m cos(βy)sin(ωt) |
|
|
|
определяют стоячие волны. В конце линии и в точках, отстоящих от ее
конца на расстоянии y = λ k , имеются узлы напряжения и пучности
2
тока, а в точках, которые находятся на расстоянии y = λ (2k + 1) , – пуч- 4
ности напряжения и узлы тока. Входное сопротивление линии без потерь, короткозамкнутой на конце,
Z вх к.з = |
|
U |
|
= |
I 2 zв cos(βy) |
= jzвtg(βy) = jx |
|
|
|
I |
|
I 2 sin(βy) |
|
|
|
|
|
Это сопротивление, так же как Z вх х.х , является чисто реактивным и в зависимости от длины участка y линии и частоты ω получается или индуктивным или емкостным (рис. 5.10).
|
На рисунке 5.11 показан график |
|
входного сопротивления вдоль |
Z(y) |
короткозамкнутой линии, |
из |
|
которого следует, что при |
|
|
0 ≤ y ≤ λ / 4; λ / 2 ≤ y ≤ 3λ / 4 |
и |
3 |
т.д. линия представляет собой |
|
индуктивное |
сопротивление; |
|
ток отстает по фазе от напря- |
|
жения на четверть периода. |
|
|
При |
|
|
|
λ / 4 ≤ y ≤ λ / 2; 3λ / 4 ≤ y ≤ λ и т. |
|
д. линия представляет собой |
|
|
емкостное сопротивление; ток |
|
опережает по фазе напряжение |
Рис. 5.11 |
линии на четверть периода. |
|
|
|
|
Лекция № 13
§5.8 Аналогия между уравнениями линии с распределенными параметрами и уравнениями четырехполюсника
Напряжение и ток на входе линии с распределенными параметрами
( |
U |
1, I1 ) связаны с напряжением и током в конце линии |
( |
U |
2 , I 2 ) сле- |
|
|
дующими уравнениями: |
|
= U |
|
|
|
ch(γℓ) + I |
|
|
|
sh(γℓ); |
|
|
|
|
|
U |
1 |
2 |
2 |
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
I |
1 |
= |
|
|
|
|
|
2 |
sh(γℓ) + I 2ch(γℓ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сопоставим их с известными уравнениями четырехполюсника: |
|
|
|
|
|
|
U |
1 |
= AU |
2 |
+ B I |
2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I1 = CU 2 + D I 2 . |
|
|
|
|
|
Из сопоставления следует, что уравнения по форме полностью ана- |
логичны, а если принять обозначения, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
A = D = ch(ℓγ), B = Zвsh(ℓγ), C = sh(ℓγ) Zв |
|
|
(17е) |
то зависимость между U1 и U 2 , и I 2 и зависимость между I1 , и U 2 и I 2 в линиях с распределенными параметрами Точно такие же, как в четы-
рехполюснике. Другими словами, при соблюдении условий (17е) четырехполюсник эквивалентен линии с распределенными параметрами в отношении связи между входными и выходными токами и напряжениями.
При перемене местами источника и нагрузки токи в источнике и нагрузке не изменятся. Таким же свойством обладает симметричный четырехполюсник. Поэтому однородная линия с распределенными параметрами может быть заменена симметричным четырехполюсником и. наоборот, симметричный четырехполюсник можно заменить участком однородной линии с распределенными параметрами.
|
|
|
|
|
|
Т-схема |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П-схема |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Iɺ Z1 |
|
|
|
|
Iɺ |
Z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Iɺ1 |
|
|
Z4 |
|
|
|
Iɺ |
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Uɺ2 |
Uɺ1 |
|
|
|
Z3 |
|
|
|
|
|
|
Uɺ2 |
|
Uɺ1 |
|
|
|
|
|
|
|
Z5 |
Z6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 5.12
Для симметричной Т-схемы замещения четырехполюсника:
Z1 = ( A − 1) / C; Z3 = 1/ C,
или
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = D = 1 + |
Z1 |
; B = 2Z |
1 |
+ |
Z12 |
; C = 1/ Z |
3 |
. |
|
|
|
|
|
Z3 |
|
|
Z3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для симметричной П - схемы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z4 = B; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z5 = B /( A −1) |
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = 1 + |
Z4 |
; B = Z |
4 |
; C = |
2 |
+ |
Z4 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Z5 |
|
|
|
|
Z5 Z52 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример: В Т-схеме четырехполюсника |
|
Z1 = 100 Ом, Z3 = − j500 Ом. |
Определить характеристическое (волновое) сопротивление и произведение γℓ эквивалентной ему линии с распределенными параметрами.
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = D = 1 + |
Z1 |
= 1 + |
100 |
|
|
= 1 + 0, 2 j = 1,02e j11o18'; |
|
|
−500 j |
|
|
|
|
|
|
Z |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B = 2Z |
+ |
Z12 |
= 200 + |
104 |
|
|
|
= 200 + j20 = 200e j5o 40'; |
|
−500 j |
|
|
1 |
|
|
Z3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C = 1/ Z |
3 |
= 1/(− j500) = 0,002e j90o ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B = Z |
|
sh(lγ), |
C = sh(lγ) |
|
|
|
|
→ Z |
|
= |
|
= 316e− j42o10'Ом; |
в |
Z |
в |
, |
в |
B / C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sh( yl) |
|
|
|
|
|
|
A = ch(lγ), th( yl) = |
= |
|
|
BC |
= 0, 498 + j0,369; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ch( yl) |
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
yl = αl + jβl = arcth(0, 498 + j0,369) = 0, 454 + j0, 437.
Учебное издание
ИСАЕВ Юсуп Ниязбекович КОЛЧАНОВА Вероника Андреевна ХОХЛОВА Татьяна Евгеньевна
КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКИМ ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
Учебное пособие
Научный редактор |
|
доктор ф.-м. н., |
|
профессор |
Ю.Н.Исаев |
Подписано к печати 10. 04 .09. Формат 60х84/16. Бумага «Снегурочка».
Печать RISO. Усл.печ.л. 9,26. Уч.-изд.л. 10,23.
Заказ . Тираж 5 экз.
Томский политехнический университет Система менеджмента качества
Томского политехнического университета сертифицирована
NATIONAL QUALITY ASSURANCE по стандарту ISO 9001:2000
. 634050, г. Томск, пр. Ленина, 30.