TOEIsaev

Линию с распределенными параметрами называют неоднородной, если продольные сопротивления в ней различны и поперечные сопротивления неодинаковы.

Когда говорят о линии с распределенными параметрами, то обычно этот термин мысленно связывают с мощными линиями передач электрической энергии на большие расстояния, с телефонными телеграфными воздушными и кабельными линиями, с антеннами в радиотехнике и другими родственными линиями и установками.

Пусть r0 – продольное активное сопротивление единицы длины ли-

нии;

L0 – индуктивность единицы длинны линии; C0 – емкость единицы длины линии; g0 – поперечная проводимость единицы длины линии (она не является обратной величиной продольного сопротивления r0 );

Разобьем линию на участки длиной dx (см. рис. 5.2), x – расстояние, отсчитываемое от начала линии. На длине dx активное сопротивление рано r0dx , индуктивность – L0dx , проводимость утечки – g0dx и емкость – C0dx .

Рис. 5.2

И ток, и напряжение являются в общем случае функциями расстояния вдоль линии x и времени t .

Обойдем, выделенный участок линии по контуру и запишем для него второй закон Кирхгофа - сумма падений напряжения для замкну-

Сократив на u и поделив на dx получаем выражение:

161

Таким образом, получаем систему дифференциальных уравнений в частных производных, которые в математической физике называются

Чтобы решить эти уравнения, воспользуемся символическим мето-

дом

Здесь – I ( x) и U (x) комплексные величины тока и напряжения соответ-

ственно.

Очевидно, что в этом случае мы можем получить следующие соотношения

162

Подставив все выше полученные выражения в телеграфные уравнения,

мость напряжения и тока от пространственной координаты эти уравнения можно переписать

Продифференцируем первое уравнение по x и подставим в него второе получим дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Будем искать решение в виде U = Ae px . Подставляя искомое решение в (2г) получим характеристическое уравнение относительно p

p2 − γ2 = 0 → p1,2 = ±γ .

Теперь решение можно записать в виде

U = A1e p1 x + A2e p2 x = A1e− γx + A2eγx .

Здесь A1, A2 комплексные константы которые определяются с помощью

граничных условий, комплексное число γ = Z0Y0 принято называть

постоянной распространения. Запишем его в алгебраической форме

γ = α + jβ ,

где α – коэффициент затухания (характеризующий затухание падающей волны на единицу длины линии); β – коэффициент фазы (про-

странственная частота); он характеризует изменение фазы падающей

163

Величину, стоящую в знаменателе Z0 γ называют волновым сопротивлением и обозначают Zв :

Теперь можно перейти от комплексных величин к мгновенным значениям, то есть осуществить обратный переход от комплексных функций к мгновенным значениям тока и напряжения:

I ( x)e jωt → i( x, t), U ( x)e jωt → u(x, t) .

Рис. 5.3

Бегущая волна характеризуется волновыми параметрами – длинной волныλ и фазовой скоростью υ . Скорость распространения – υ и дли-

ну – λ волны можно определить, используя выражения:

λ = 2βπ .

164

§5.1 Формулы для определения напряжения и тока в любой точке линии через комплексы напряжения и тока в начале линии

Выпишем комплексное представление волн напряжения и тока вдоль линии, и определим константы интегрирования входящие в эти выражения, используя граничные условия в начале линии:

Пусть в начале линии при x = 0 напряжении U1 и I1 , тогда можно получить:

U1 = A1 + A2 ;

I1Zв = A1 − A2 .

Просуммируем первое, и второе уравнения в системе (4), в результате получим выражение для константы A1 :

A1 = U1 + I1 Z в = A1e jψп . 2

Вычитая второе уравнение из первого в системе (4), получим выражение для константы A2 :

A2 = U1 − I1 Z в = Ae jψо . 2

Поставим найденные константы в выражения для напряжения:

Напомним, что в скобках находятся гиперболические функции синус и косинус:

165

§5.2 Формулы для определения напряжения и тока в любой точке линии через комплексы напряжения и тока в конце линии

Обозначим расстояние от текущей точки на линии до конца линии y , а длину всей линии ℓ:

§5.3 Линии без потерь

Строго говоря, линии без потерь не существует. Однако можно создать линию с очень малыми потерями (с очень малыми r0 и g0 по сравнению с ω L0 и ω C0 соответственно). В ряде случаев, в особенности при высоких частотах, когда ω L0 >> r0 и ω C0 >> g0 , можно пренебречь наличием потерь в линии и принять r0 = 0 и g0 = 0 . В этом случае коэффициент затухания α = 0 , и коэффициент распространения становится чисто мнимой величиной γ = jβ , β = ωL0C0 , а волновое сопротивление явля-

ется чисто активным:

Для определения напряжения и тока в любой точке линии обратимся к системе уравнений (13)

167

Используя те же выражения для системы (5) можно записать уравнения линий без потерь через ток и напряжения в начале линии:

§5.4 Коэффициент отражения

Отношение напряжения отраженной волны в конце линии к напряжению падающей волны в конце линии называют коэффициентом от-

ражения по напряжению и обозначают Ku . В соответствии с формулой (12) можно получить:

отражается.

168

170