24.Сравнение бесконечно малых функция и свойства эквивалентных

Пусть и– бесконечно малые функции при. Предел отношения этих величин может принимать любые значения – в зависимости от быстроты убывания одной величины относительно другой. Для сопоставления скоростей убывания этих величин при стремлении x точке a можно использовать предел отношения

Если этот предел представляет собой конечное ненулевое число, то иназываются бесконечно малыми одного и того же порядка. Особый интерес представляет частный случай, когда λ = 1. Тогда говорят, чтоиявляются эквивалентными бесконечно малыми прии записывают это утверждение в виде

Если λ = 0, то говорят, что является бесконечно малой более высокого порядка по сравнению сприа функцияимеет меньший порядок малости. Термин “порядок малости” допускает уточнение, еслиипредставляют собой бесконечно малые одного и того же порядка. В этом случае говорят, чтоявляется бесконечно малой n-го порядка по сравнению с. Например, функцияявляется бесконечно малой 4-го порядка по сравнению спри x → 0. Если λ = ∞, то бесконечно малыеикак бы меняются своими ролями. В этом случае функцияявляется бесконечно малой более высокого порядка по сравнению спри. Сформулируем некоторые полезные свойства эквивалентных бесконечно малых.

Если и– эквивалентные бесконечно малых прито их разность есть бесконечно малая более высокого порядка. Действительно,

Для записи такого утверждения используется выражение

Бесконечно малые иявляются эквивалентными, еслииявляются бесконечно малыми одного и того же порядка. Если– бесконечно малая более высокого порядка по сравнению сприто

25.Точки разрыва и их классификации

Если функция f (x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f (x) имеет разрыв в этой точке. На рисунке 1 схематически изображены графики четырех функций, две из которых непрерывны при x = a, а две имеют разрыв.

Непрерывна при x = a.		Имеет разрыв при x = a.
Непрерывна при x = a.		Имеет разрыв при x = a.
Рисунок 1.

Классификация точек разрыва функции

Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода. Говорят, что функция f (x) имеет точку разрыва первого рода при x = a, если в это точке

Существуют левосторонний предел и правосторонний предел;

Эти односторонние пределы конечны.

При этом возможно следующие два случая:

Левосторонний предел и правосторонний предел равны друг другу:

Такая точка называется точкой устранимого разрыва.

Левосторонний предел и правосторонний предел не равны друг другу:

Такая точка называется точкой конечного разрыва. Модуль разности значений односторонних пределов называется скачком функции.

Функция f (x) имеет точку разрыва второго рода при x = a , если, по крайней мере, один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

26.Теоремы о производных суммы, произведения и частного двух функций.

Пусть функции u = u(x), v= v(x) дифференцируемы. Тогда

Доказательство

Если аргумент x получит приращение Δx, то функции u, v получат приращения

Пусть y = u + v, тогда

Воспользовавшись свойством предела суммы функции, получаем

Утверждение 1) теоремы доказано.

Если y = u v, то Прибавив и отняв в правой части этого равенства произведение, после перегруппировки слагаемых получим. Воспользовавшись свойствами предела функции, получаем

Утверждение 2) теоремы доказано.

Теперь, если

Прибавив и отняв в правой части этого равенства частное , после перегруппировки слагаемых получим

Далее аналогично доказываем утверждение 3). Теорема доказана.

Из теорем 2,3 следует, что постоянную можно выносить за знак производной, т.е. (cy)' = cy'