4) Обратная матрица, вычисление, приложение.

Обра́тная ма́трица — такая матрица A⁻¹, при умножении на которую, исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует.

Свойства обратной матрицы

, гдеобозначает определитель.

для любых двух обратимых матрици.

гдеобозначает транспонированную матрицу.

для любого коэффициента.

Если необходимо решить систему линейных уравнений , (b — ненулевой вектор) где— искомый вектор, и еслисуществует, то. В противном случае либо размерность пространства решений больше нуля, либо их нет вовсе.

Нахождение с помощью матрицы алгебраических дополнений

— транспонированная матрица алгебраических дополнений;

Полученная матрица A⁻¹и будет обратной. Сложность алгоритма зависит от сложности алгоритма расчета определителя Odet и равна O(n²)·Odet.

Иначе говоря, обратная матрица равна единице, делённой на определитель исходной матрицы и умноженной на транспонированную матрицу алгебраических дополнений элементов исходной матрицы.

5)Теорема о существовании и единственности обратной матрицы.

Теорема (единственности существования обратной матрицы): Если у матрицы существует обратная матрица, то она единственна.

Доказательство.

Пусть существует матрица , для которойи матрица, для которой.

Тогда , то есть. Умножим обе части равенства на матрицу, получим, гдеи.

Значит, , что и требовалось доказать.

6) Теорема Кронекера – Капели

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы, причём система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных, и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных.

Необходимость

Пусть система совместна. Тогда существуют числа такие, что. Следовательно, столбецявляется линейной комбинацией столбцовматрицы. Из того, что ранг матрицы не изменится, если из системы его строк (столбцов) вычеркнуть или приписать строку (столбец), которая является линейной комбинацией других строк (столбцов) следует, что.

Достаточность

Пусть . Возьмем в матрицекакой-нибудь базисный минор. Так как, то он же и будет базисным минором и матрицы. Тогда согласно теореме о базисном миноре последний столбец матрицыбудет линейной комбинацией базисных столбцов, то есть столбцов матрицы. Следовательно, столбец свободных членов системы является линейной комбинацией столбцов матрицы.

7) Метод крамера (вывод) решения систем линейных уравнений.

Метод (Крамера).

Если матрица квадратной системы невырожденная, то система определенная.

В этом случае решение системы может быть найдено по формулам ,

где - определитель системы;- определитель матрицы, получаемой из основной матрицы системы заменой её-го столбца столбцом свободных членов.

Теорема. (Правило Крамера):

Теорема. Система из n уравнений с n неизвестными

в случае, если определитель матрицы системы не равен нулю, имеет единственное решение и это решение находится по формулам:

x_i= D_i/D, где

D = det A, а D_i– определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой столбца i столбцом свободных членов b_i.

D_i=