10.2. Распределение Максвелла
Молекулы любого газа находятся в вечном хаотическом движении. Скорости молекул могут принимать самые различные значения. Молекулы сталкиваются, в результате столкновений происходит изменение скоростей молекул. В каждый данный момент времени скорость каждой отдельной молекулы является случайной и по величине и по направлению.
Но, если газ предоставить самому себе, то различные скорости теплового движения распределяются между молекулами данной массы газа при данной температуре по вполне определённому закону, т.е. существует распределение молекул по скоростям.
Закон распределения молекул по скоростям был теоретически выведен Максвеллом. Закон Максвелла выражается следующей формулой:
,
(10.6)
где
– число молекул, скорости которых лежат
в интервале
;
– общее число молекул данной массы
газа;
– основание натурального логарифма;
– заданное значение скорости из интервала
;
– наиболее вероятная скорость молекул
газа при данной температуре.
Наиболее
вероятной скоростью
называется скорость, близкой к которой
обладает наибольшее число молекул
данной массы газа. Значение
зависит от температуры газа.
Формула
(10.6) даёт число молекул, скорости которых
лежат в данном интервале скоростей
независимо от направления скоростей.
Если
поставить более частный вопрос, а именно
чему равно число
молекул в газе, составляющие скоростей
которых лежат в интервале между
и
,
и
,
и
,
то
,
(10.7)
или
,
(10.8)
где
– кинетическая энергия молекулы газа;
– масса молекулы;
– постоянная Больцмана;
– абсолютная температура газа. Формулы
(10.7) и (10.8) – тожеформулы распределения
Максвелла. Кривая распределения
молекул по скоростям, соответствующая
закону распределения (10.6), изображена
на рис. 10.1. По оси абсцисс откладываются
значения скорости, которые может
принимать отдельная молекула газа.
Максимум
кривой соответствует наиболее вероятной
скорости
.
Кривая асимметрична относительно
,
т.к. в газе имеется сравнительно небольшое
число молекул с очень большими скоростями.
Рассмотрим
какой-нибудь интервал
,
(рис. 10.1). Если
мало, то площадь
заштрихованной полоски близка к площади
прямоугольника:
,
т.е.
площадь заштрихованной полоски
представляет собою число молекул,
скорости которых лежат в интервале
,
.
А площадь под всей кривой пропорциональна
общему числу молекул данной массы газа.
Найдём,
при каком значении
кривая будет иметь максимум. Максимум
находим по обычным правилам математики,
приравнивая к нулю первую производную
по
:
,
или
.
Так как
,
то
.
Взяв производную,
получим, что
,
т.е. максимум кривой соответствует
наиболее вероятной скорости
.
Максвеллом
были теоретически найдены формулы, по
которым можно насчитывать
и среднюю арифметическую скорость
.
Перечислим скорости, которыми можно
характеризовать тепловое движение
молекул газа.
1.
Наиболее вероятная скорость
.
(10.9)
2.
Средняя квадратичная скорость
:
;
. (10.10)
3.
Средняя арифметическая скорость
.
(10.11)
Все
скорости прямо пропорциональны
и обратно пропорциональны
,
где
– масса моля газа.
На
рис. 10.1 график Iпостроен
для температуры
,
а графикII– для температуры
.
Видно, что с повышением температуры
максимум кривой сдвигается вправо, т.к.
с повышением температуры возрастают
скорости молекул. Быстрых молекул стало
больше, правая ветвь кривой приподнимается,
медленных молекул стало меньше, левая
ветвь идёт круче. А вся кривая понижается,
т.к. площадь под кривой должна оставаться
той же самой, потому что общее число
молекул газа осталось тем же самым и,
конечно, не могло измениться при
нагревании газа.
Закон Максвелла является статистическим законом, т.е. законом, справедливым для очень большого числа молекул.
Кроме того, закон Максвелла не учитывает внешнее воздействие на газ, т.е. нет никаких силовых полей, действующих на газ.