Релятивистское правило сложения скоростей

Пусть точка М движется в системе со скоростьюпо направлению оси. Найдем скоростьэтой точки в системеК.

В механике Ньютона, если  << c, то по правилу сложения скоростей Галилея, скорость тела относительно системы К:

(7.37)

Рис. 7.9	Так как движение происходит вдоль оси х, то (7.38) Рассмотрим с точки зрения классической механики явление распространения света.
Рис. 7.10	Пусть в системе К есть источник света, в К' – приёмник света. Применяя преобразования Галилея скорость света относительно К': что не подтверждается экспериментальными результатами.c = const. Этот факт является одним из постулатов, лежащих в основе СТО.

Эйнштейн объяснил этот результат свойствами пространства и времени: с точки зрения движущегося наблюдателя (система К') пространство «сокращается» в направлении движения в раз, а интервал времениdt по измерениям того же наблюдателя уменьшается в раз. Следовательно,

Таким образом, правило сложения скоростей Галилея нельзя применять в случае движения тел со скоростями близкими к скорости света.

Если система К΄ движется относительно системы К со скоростью близкой к скорости света с, то проекции скорости материальной точки на координатные оси в системе К:

(7.39)

Проекции скорости материальной точки на координатные оси в системе К':

(7.40)

Согласно преобразованиям Лоренца:

(7.41)

(7.42)

(7.43)

(7.44)

Если материальная точка движется в системе К вдоль оси х со скоростью с:

(7.45)

то её скорость в системе К' равна с. Следовательно, объект, движущийся со скоростью с, будет иметь эту же скорость относительно других систем независимо от того, сколь быстро они движутся (согласие с II постулатом Эйнштейна).

7.5. Основной закон релятивистской динамики материальной точки

Из принципа относительности следует, что математическая запись любого закона физики должна быть одинаковой во всех инерциальных системах отсчета. Это означает, что уравнения, описывающие какое-либо явление в системе отсчета К΄, получаются из уравнений, описывающих это же явление в системе отсчета К. Это условие называется условием ковариантности уравнений физических законов относительно преобразований Лоренца. При использовании преобразований Лоренца происходит замена штрихованных величин (измеренных относительно системы К΄) на нештрихованные (измеренные относительно системы К).

Основной закон классической механики Ньютона для материальной точки или, в котором массаm этой точки и действующая на неё сила считаются одинаковыми во всех инерциальных системах отсчета. Поэтому в классической механике масса – это коэффициент пропорциональности между силой и изменением скорости. Масса не зависит от скорости и инвариантна по отношению к выбору системы отсчета. Инертная масса не зависит от направления действия силы.

В классической механике принято, что импульс материальной точки пропорционален её массе и совпадает по направлению со скоростью этой точки:, поэтому– основной закон динамики (2 закон Ньютона).

В релятивистской динамике импульс также как в классической динамике пропорционален массе и совпадает по направлению со скоростью этой точки. Однако, в отличие от классической механики импульс материальной точки не линейная функция от скорости:

, (7.46)

тогда основное уравнение релятивистской динамики:

. (7.47)

В релятивистской механике масса m() утрачивает смысл коэффициента пропорциональности между векторамии:

(7.48)

исследуем эту зависимость:

• Если . Так какотсюда(7.49)

• Если , тоотсюда

(7.50)

В отличие от Ньютоновской механики вектор силыв релятивистской механике не является инвариантом (в различных инерциальных системах отсчетаимеет различные модули и направления).

Итак, основное уравнение релятивистской динамики:

, (7.51)

где , аm₀ – масса покоя частицы (в системе отсчёта, относительно которой частица находится в покое).

При малых скоростях ( << c) уравнение практически совпадает с уравнением механики Ньютона. Однако по мере увеличения скорости материальной точки её импульс возрастает быстрее, чем скорость. Очевидно, что . Все реальные силы конечны по величине, а их действие на тело ограничено по времени. Поэтому силы не могут сообщить телу бесконечно большой импульс. Следовательно, скорость тела по отношению к любой инерциальной системе отсчета не может быть равна скорости света в вакууме, а всегда меньше её.