5.5. Фильтрация водонефтяной смеси и многофазной жидкости

Искусственное заводнение нефтеносных пластов, осуществляемое нагнетанием воды в пласт, приводит к необходимости изучать движение смеси воды и нефти в пласте. Движения водонефтяной смеси в пласте наблюдается также при наличии в пласте природной воды. Сюда относится связанная (реликтовая) вода; подошвенная вода, занимающая нижнюю часть пласта; краевая или контурная вода, первоначально располагающаяся за контуром нефтеносности и в последующем вытесняющая нефть к скважинам.

Породы, из которых сложены продуктивные пласты, могут быть нефтесмачиваемыми (гидрофобными) и водосмачиваемыми (гидрофильными). Наиболее распространены водосмачиваемые породы; в них реликтовая вода как бы прилипает к стенкам поровых каналов. Высокая насыщенность реликтовой водой и служит вероятным признаком водосмачиваемости пород, тогда как нефтесмачиваемость проявляется в низкой насыщенности реликтовой водой. Отделение той или иной жидкости (нефти, воды) в сетке поровых каналов обусловлено насыщенностью и характеристикой смачиваемости.

Рис. 5.6. Зависимость относительных фазовых проницаемостей для нефти и воды от водонасыщенности s при разных значениях параметра  (по Леверетту)

Результатом опытов Леверетта явились кривые, представленные на рис. 5.6. По оси абсцисс отложены значения водонасыщенности s в процентах, по оси ординат – относительная фазовая проницаемость для воды и нефти в процентах. Каждая кривая отвечает определенному значению параметра  = ΔL/dΔp, где  – давление вытеснения в см рт. ст., ΔL – длина колонки песка в см, d – средний диаметр поровых каналов в см и Δp –перепад давления в см рт. ст. Параметр  пропорционален капиллярным силам, противодействующим прохождению отдельных капель нефти через поры песка.

Для одномерного потенциального движения несжимаемой водонефтяной массы без учета массовых сил и фазовых превращений справедливо равенство , где u– суммарная скорость фильтрации смеси,

(5.24)

Здесь k_в и k_н – фазовые проницаемости воды и нефти, соответственно; μ_в и μ_н – коэффициенты вязкости воды и нефти. Расчеты, относящиеся к одномерному потоку смеси воды и нефти, выполняются по ранее рассмотренным формулам однородной жидкости.

При движении газированной жидкости в пластах содержатся обычно три фазы компонента смеси: нефть, газ и вода. В таком случае имеем поток многофазной жидкости.

На основании экспериментов можно считать, что относительная фазовая проницаемость в многофазном потоке почти не зависит от вязкости жидкости, ее плотности, внутрижидкостного натяжения, градиента давления и пористости среды. В то время как вязкость существенно не влияет на относительную проницаемость, отношение величин вязкости жидких фаз, присутствующих одновременно в потоке, значительно влияет на состав текущей смеси.

5.6. Одномерные модели вытеснения несмешивающихся жидкостей

Наиболее разработана в настоящее время теория одномерного движения двухфазной жидкости в пористой среде. Основные допущения этой теории состоят в следующем:

• жидкости предполагаются несмешивающимися (взаимно нерастворимыми);

• жидкости считаются несжимаемыми, а пористая среда – недеформируемой; фазовые переходы отсутствуют; коэффициенты вязкости фаз постоянны;

• относительные фазовые проницаемости и капиллярное давление являются известными однозначными функциями насыщенности;

• гистерезисные явления не учитываются (рассматриваются только однонаправленные процессы).

Рис. 5.7. Схема одномерной двухфазной фильтрации с учетом силы тяжести

Полная система уравнений. Основываясь на этих допущениях, выведем полную систему уравнений двухфазной фильтрации в однородной пористой среде с учетом капиллярных и гравитационных сил.

В случае прямолинейно-параллельного течения вдоль оси х (рис.5.7) уравнения неразрывности (5.9) для фаз принимают вид

, . (5.25)

Обобщенный закон Дарси (5.10) сводится к уравнениям

, (5.26)

.

Здесь  – угол наклона оси х к горизонту (рис. 5.8); ₁ и ₂ – плотности фаз.

Неизвестные характеристики течения , u₁, u₂, p₁ и p₂ зависят от координаты х и времени t.

Уравнения (5.25), (5.26) с учетом дополнительных соотношений образуют замкнутую систему для случаев линейного течения, являющуюся основой для решения задач вытеснения одной жидкости другой. Характерной особенностью данной системы является то, что её можно свести к одному уравнению для насыщенности.

Знание распределения насыщенности в пласте позволяет проанализировать эффективность вытеснения нефти или газа несмешивающейся с ними жидкостью.

(5.27)

,

где u=u₁+u₂; =₂-₁;

функция Баклея–Леверетта или функция распределения потоков фаз

; (5.28)

.

Уравнение (5.27) представляет собой сложное нелинейное уравнение параболического типа второго порядка и точное решение получено лишь для некоторых сравнительно простых частных случаев.

Начальные и граничные условия. При решении конкретных задач для уравнения изменения насыщенности должны быть сформулированы соответствующие граничные и начальные условия. В качестве начального условия задаются значения неизвестной функции  в зависимости от пространственных координат при t = 0. Можно считать, что при t = 0 насыщенность всюду постоянна (например,  = *).

В случае вытеснения нефти водой естественно задать на входе в пласт (нагнетательная скважина или галерея) расход закачиваемой воды и равенство нулю скорости фильтрации нефти; из последнего условия вытекает, что k₂ = 0, следовательно, на этой поверхности  = *.

На выходе из пласта возможно два варианта граничных условий.

1. Можно пренебречь градиентом капиллярного давления по сравнению с градиентом давления в фазах, т. е. считать, что приx=L, откуда следует, что

при x = L. (5.29

2. Экспериментально установлено, что вода не вытекает из гидрофильного пласта, а накапливается в выходном сечении, пока её насыщенность не достигнет значения *. В момент достижения значения * вода прорывается из пласта с сохранением на выходе этого значения насыщенности. Это явление получило название концевого эффекта. Математически оно приводится к сложному нелинейному граничному условию на выходе.

Дифференциальное уравнение второго порядка для насыщенности (5.27) можно упростить путем учета только одного вида сил (гравитационных или капиллярных) и получить, соответственно, две различные модели:

Модель Рапопорта  Лиса. Для прямолинейно-параллельного вытеснения уравнение для насыщенности без учета силы тяжести было впервые получено в 1953 г. американскими исследователями Л. Рапопортом и В. Лисом. Поэтому модели двухфазной фильтрации с учетом капиллярных эффектов называют обычно моделями Рапопорта–Лиса.

Дифференциальное уравнение для насыщенности в данной модели – параболического типа.

Модель Баклея  Леверетта. Без учета капиллярных сил двухфазная фильтрация для случая прямолинейно-параллельного вытеснения рассматривалась С. Баклеем и М. Левереттом в 1942 г., а позже независимо от них А. М. Пирвердяном, исследовавшим также случай более общего закона фильтрации при двухфазном течении.

Задачи двухфазной фильтрации без учета капиллярных сил известны как задачи (модель) Баклея – Леверетта. Задачи вытеснения такого типа в одномерной постановке изучены достаточно полно.

Уравнение насыщенности задач данного типа принадлежит к классу квазилинейных гиперболических уравнений первого порядка.