4.3.5. Критерий произведений

Критерий произведений (Р) до сего времени в теории принятия решений не применялся. В теории нечетких множеств эта П-операция служит для фильтрации информации. С самого начала этот критерий ориентирован на величины выигрышей, то есть на положительные значения e_ij.

Определим оценочную функцию:

, (4.29)

. (4.30)

Тогда

. (4.31)

Правило выбора в этом случае формулируется так.

Матрица решений ||e_ij||дополняется новым столбцом, содержащим произведения всех результатов каждой строки. Выбираются те варианты Е_i0, в строках которых находятся наибольшие значения этого столбца.

Применение этого критерия обусловлено следующими обстоятельствами:

– вероятности появления состояний F_j неизвестны;

– с появлением каждого из состояний F_j по отдельности необходимо считаться;

– критерий применим и при малом числе реализации решения;

– некоторый риск допускается.

Как уже упоминалось, Р-критерий приспособлен в первую очередь для случаев, когда все e_ij положительны. Если указанное условие нарушается, а Р-критерий приходится применять и в этом случае, то следует выполнить некоторый сдвиг e_ij+a с некоторой константой . Разумеется, результат применения критерия существенно зависит от этого значения а. На практике в качестве значения а охотно используют величину . Если же никакая константа не может быть признана имеющей смысл, то к таким проблемам Р-кри-терий не применим.

Выбор оптимального решения согласно Р-критерию оказывается значительно менее пессимистическим, чем, например, выбор в соответствии с ММ-критерием. Его тесная связь с нейтральным критерием (4.5) усматривается, например, из следующего рассуждения. Из строгой монотонности логарифмической функции следует, что значение , рассматриваемое в зависимости от i, максимально в точности тогда, когда максимален причем мы предполагаем здесь, что e_ij>0 для всех i и j.

Теперь имеем , и эта величина, очевидно, достигает максимума одновременно . Последнее же выражение в точности соответствует нейтральному BL-критерию (4.5), если только величины е_ij – в нем заменить на логарифмы .

Таким образом, в результате применения Р-критерия происходит некоторое выравнивание между большими и малыми значениями e_ij, и, устанавливая оптимальный вариант решения с помощью Р-критерия, мы можем при фиксированных состояниях F_j получить большую выгоду, чем при использовании ММ-критерия, но при этом должна учитываться возможность появления и худших результатов. Следует отметить, что при использовании этого критерия ни число реализации, ни информация о распределении вероятностей не принимаются во внимание.

Если оптимальный результат, полученный согласно Р-кри-терию, определяется преимущественно малыми значениями результатов, это указывает на довольно-таки пессимистический подход, аналогичный ММ-критерию. При возрастании полезного эффекта пессимистический акцент снижается и по существу происходит все большее сближение данного критерия с нейтральным. Тем самым достигается, правда, определенное выравнивание между пессимистической и нейтральной точками зрения, однако это выравнивание не есть результат какой-либо определенной характеристики ситуации, в которой принимаются решения, а скорее объясняется более или менее случайным набором возможных результатов.