4) Сравнение эмпирического и теоретического законов распределения случайной величины X.

Из вида кривой эмпирического распределения следует, что случайная величина должна иметь закон распределения, близкий к нормальному. Для сравнения в той же системе координат построим кривую нормального закона распределения

,

где , а величиныибыли получены в предыдущем пункте. Таким образом,.

Одним из критериев, позволяющих установить справедливость нормального закона распределения случайной величины X, является правило трех сигм. В случае нормально распределенной величины вероятность отклонений от больше, чем на величину, мала, следовательно, такие отклонения встречаются крайне редко. Для наших статистических данных. Из графика и таблицы можно сделать вывод, что величинаX редко отклоняется от более, чем на, следовательно, ее закон распределения близок к нормальному.

Рисунок 21

26. Заданные осциллограммы представить приближенно в виде суперпозиции гармоник. В разложении сохранить постоянное слагаемое и первые четыре гармоники. Найти коэффициенты разложения и начальные фазы гармоник. Для определения коэффициентов и фаз измерить и использовать ординаты точек на осциллограммах для 13 равноотстоящих значений абсциссы 0, 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210, 240, 270, 300, 330 и 360 градусов. Измерения выполнить с точностью до двух значащих цифр, а вычисления – с точностью до трех значащих цифр. Построить график осциллограммы и найденного разложения.

Рисунок 22

Решение. Определим по графику ординаты для заданных значений абсциссы и запишем их в таблицу. В технике обычно углы измеряются в градусах, но в математике удобнее использовать радианы – для упрощения формул. Кроме того, большинство компьютерных программ общего назначения в тригонометрических функциях по умолчанию используют радианы в качестве меры угла. Поэтому значения x в таблице имеет смысл записать в радианах по формуле

. (4 )

Таблица 5

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
x	0	0,524	1,05	1,57	2,09	2,62	3,14	3,67	4,19	4,71	5,24	5,76	6,28
y	0,11	0	–1	–2	–3	–3	–3	–2	–1	0	1,2	1,2	1,2

Поскольку измеряется в радианах, причем , формула для разложения функции вряд Фурье имеет вид

(5)

Коэффициенты разложения определяются по формулам

, (6)

, (7)

. (8)

В нашей задаче аналитический вид функции неизвестен, но мы нашли значения функции в нескольких точках, поэтому можем вычислить интегралы приближенно, например, по формуле трапеций:

, (9)

, (10)

, (11)

где

Все параметры в формулах (9–11) заданы в таблице 5, поэтому вычислим значения и заполним первые 3 столбца таблицы 6. Например, дляполучим

и т.д.

Таблица 6

n
0	–1,99
1	1,85	–1,12	2,2	2,12
2	–0,05	–0,06	0,081	–2,46
3	–0,09	–0,03	0,096	–1,88
4	–0,1	0	0,1	–1,52

Во многих технических приложениях вместо суммы функций записывают одну функцию, которая представляет собой синусоиду с таким же периодом, но сдвинутую влево относительнона. Функциюпринято называть гармоникой. Ее параметры выражаются черезипо формулам

, (12)

(13)

Если значение , вычисленное по формуле (13), превышает, то из него можно вычесть, так как синус – периодическая функция. С учетом формул (12, 13), формула (5) приобретает следующий вид

(11)

По формулам (12,13) заполним два последних столбца таблицы 6. Подставим найденные коэффициенты в формулу (14) и получим приближенное разложение в ряд Фурье для нашей осциллограммы

(15)

Для построения графика функции вычислим значения функции по формуле (15) для всех значенийиз таблицы 5.

Таблица 7

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
x	0	0,524	1,05	1,57	2,09	2,62	3,14	3,67	4,19	4,71	5,24	5,76	6,28
	0,64	0,0001	–0,95	–2,2	–2,9	–3,1	–2,9	–2	–1	0,069	1,2	1,3	0,64

Построим в одной системе координат график исходной осциллограммы и график ее разложения по гармоникам. Для этого построим точки с координатами из таблицы 5 и соединим их плавной линией черного цвета, затем построим точки с координатами из таблицы 7 и соединим их плавной линией синего цвета. При построении точек следует перевести абсциссы обратно в градусы по формуле

Полученный график показан на рисунке 23.

Рисунок 23

На этом графике – исходная осциллограмма,– ее разложение в ряд Фурье. Графики близки друг к другу при всех значенияхx за исключением крайних точек и. Дело в том, что– функция непрерывная и периодическая, для нее. В то же время, для нашей осциллограммы. Если ее график периодически продолжить на всю ось0x, то точки истанут точками разрыва. В точках разрываравно полусумме левостороннего и правостороннего пределов функции.