3. Приборная погрешность

Создано огромное количество разнообразных измерительных приборов, отличающихся конструкцией, принципом работы и точностью. Точность прибора либо задается классом точности (который обычно нанесен на прибор), либо указывается в паспорте, прилагаемом к прибору. Класс точности – это обобщенная характеристика прибора, характеризующая допустимые по стандарту значения погрешностей, влияющих на точность измерения.

Измерительные приборы всегда вносят свой вклад в погрешность измерения, зависящий от точности прибора. Соответствующую величину принято называть приборной погрешностью. В общем случае она может иметь две составляющие – систематическую и случайную. У правильно настроенного измерительного прибора систематическая погрешность либо отсутствует, либо достаточно просто учитывается.

Для определения приборной погрешности, связанной со случайными факторами, мы будем пользоваться следующими тремя правилами:

1. Если известен класс точности прибора, причем его цифровое обозначение не заключено в кружок, тогда приборная погрешность определяется формулой:

(6)

где − величина класса точности,− предел измерения прибора (то есть максимальное значение величины, которое может измерить данный прибор).

2. Если прибор имеет класс точности, цифровое обозначение которого заключено в кружок, то приборная погрешность определяется по отношению к данному результату измерения (вместо предела измерения в формуле (6) следует использовать измеренное значениефизической величины).

3. Если прибор не имеет класса точности, его приборную погрешность обычно принимают равной половине цены деления. Цена деления прибора – это минимальное значение величины, которое может измерить данный прибор.

Если в процессе многократных измерений выясняется, что основной вклад в случайную погрешность вносит приборная погрешность, то в данном эксперименте можно ограничиться однократным измерением. Если же основной вклад определяется не приборной погрешностью, то принципиальным становиться именно проведение многократных измерений.

Часто для практических целей достаточно произвести однократное измерение интересующей величины. В этом случае невозможно оценить погрешность, связанную со всеми случайными факторами «внешней среды», но мы должны быть уверены, что она достаточно мала. Чтобы убедиться в этом, необходимо хотя бы раз произвести многократное измерение величины и определить случайную погрешность. Но в любом случае остаются погрешности связанные с использованием для измерения конкретных приборов. Поэтому результат однократного измерения представляется в виде:

где − значение величины, полученное в процессе однократного прямого или косвенного измерения,− погрешность однократного измерения.Количество измерений (одно) и доверительная вероятность в этом случае не указываются, в отличие от результата многократного измерения. Величинав случае прямого однократного измерения представляет собой приборную погрешность.

4. Погрешность косвенного измерения

Опишем, как определить погрешность косвенного измерения. Перед тем как дать общий ответ, рассмотрим достаточно частный случай определения такой погрешности. Пусть стоит задача измерения объема куба. Самый простой способ решения задачи связан с измерением − длины ребра куба. После того как она определена, величина объема куба рассчитывается по формуле. Если измерение производилось однократно с помощью линейки, то результат такого прямого измерения представляется так:

где − значение длины ребра, полученное в процессе однократного измерения,− погрешность прямого измерения, равная приборной погрешности линейки. Логично потребовать, чтобы результат косвенного измерения объема тоже имел вид

Значение объема рассчитывается по формуле, связывающей его со значением длины ребра. Остается определить величину− погрешность для косвенного измерения объема. Оказывается, это величина линейно связана с величинойс помощью следующей формулы:

Здесь через мы обозначили производную функции по длине .

Обобщим данный результат. Пусть величина определяется из косвенных измерений и является функцией нескольких независимых величин, которые в свою очередь измерены либо прямо, либо косвенно. В качестве таких «переменных» могут, в частности, выступать и константы, значения которых определяются и используются при вычислениях с определенной точностью. Следовательно, сами константы, также как и другие величины, характеризуются погрешностью. Обозначим независимые величиныи соответствующие им погрешности. Явный вид функциидолжен быть известен. Будем считать, что каждая величинавносит независимый вклад в погрешность величины. В таком случае погрешностьопределяется следующим образом:

(7)

Отметим, что выражение означаетчастную производную функции по переменной .

В качестве примера рассмотрим определение погрешности для косвенного измерения скорости. Пусть с помощью рулетки мы провели однократное измерение расстояния , пройденного телом в метрах, а с помощью секундомера – затраченное на это времяв секундах. Погрешностьв этом случае представляет собой приборную погрешность линейки и является известной величиной. Погрешность− это приборная погрешность секундомера. Значение средней скорости определяется по известной формуле, поэтому скорость является функцией двух величин. В соответствие с общей формулой (7) определяем выражение для расчета погрешности средней скорости

Результаты однократных измерений всех трех величин теперь могут быть представлены в стандартной форме:

прямые измерения:

м,

с,

косвенное измерение:

м/с.