1.3 Методы построения полей средней скорости речных потоков

1.3.1 Расчет плана течений равномерных турбулентных потоков

Существующие методы расчета средних по глубине скоростей в равномерных турбулентных потоках.

Расчет плана течений в равномерных турбулентных потоках сводится к нахождению распределения средних по глубине скоростей поперек русла, так как вдоль русла в равномерных потоках не происходит изменения скорости. Если продольное направление x₁ - x₂ совпадает с осью русла, то

U₂ = 0; ∂U₁/∂x₁ = 0. (1.8)

Таким образом, расчет средних по глубине скоростей в равномерных потоках представляет собой частный случай расчета плана течений. Существующий метод расчета средних по глубине скоростей основывается на использовании формулы Шези для каждой вертикали (элементарной струйки в плане):

U = C_h√R_hI, (1.9)

где I – гидравлический уклон.

При этом коэффициент Шези C_h определяется по существующим зависимостям согласно значению гидравлического радиуса струйки R_h, а отношение площади сечения элементарной струйки (рисунок 1.2) к ее смоченному периметру – гидравлический радиус – будет равен:

R_h = h/√1+(dh/dn)², (1.10)

где n – поперечная координата.

Однако такой метод расчета приводит к существенным ошибкам, так как при этом, во-первых, не учитывается динамическое взаимодействие между соседними струями и, во-вторых, не выполняется интегральное условие равновесия, выражаемое гидравлическим уравнением равномерного движения. В результате расход потока, подсчитанный по значениям средних на вертикали скоростей U, определенных по зависимости (1.1), и равный

Q_* = ₀∫^B Uh dn (1.11)

будет отличаться от расхода, подсчитанного по формуле Шези для всего потока:

Q = ω_пV = ω_пC√RI, (1.12)

где V – средняя скорость в русле; ω_п – площадь сечения потока; R - ω_п/χ – гидравлический радиус потока; χ – смоченный периметр; C – коэффициент Шези потока; I – гидравлический уклон.

Представим величины ω_п, χ в виде

ω_п = ₀∫^B h dn, χ = ₀∫^B (√1+(dh/dn)²) dn, (1.13)

а коэффициент Шези запишем по Павловскому[5]:

C = (1/n_ш)R^y, (1.14)

где n_ш – коэффициент шероховатости русла.

В результате формулы (1.4) и (1.5) запишутся в виде

Q_* = (I^1/2/n_ш) ₀∫^B (h^y+3/2dn)/[1+(dh/dn)²]^1/2(y+1/2); (1.15)

Q = (I^1/2/n_ш) [₀∫^B h dn]^y+3/2/{₀∫^B [1+(dh/dn)²]^1/2}^y+1/2 (1.16)

Рисунок 1.2 - Схема элементарной струйки плана течений

Нетрудно видеть, что в общем случае расход, определенный по формуле Шези для потока (1.16), не будет равен расходу, определенному с использованием формулы Шези (1.9), для элементарной струйки плана течений без учета касательных турбулентных напряжений[7].

1.3.2 Уравнение плановой задачи равномерных турбулентных потоков

Уравнения плановой задачи для равномерного турбулентного потока можно получить из динамических уравнений плановой задачи, если в последних принять, что продольная ось ss совпадает с осью x₁ и U₁ = U; U₂ = 0, и использовать условие равномерного движения

∂/∂t = 0; ∂/∂x₁ = 0.

В результате получим:

g(∂H/∂s)+(τ₀/ρh)–1/ρ(∂τ_sn/∂n) = 0; (1.17)

∂Uh/∂s = 0.

Уравнение (1.17) можно также получить из рассмотрения условий условий динамического равновесия элементарного отсека жидкости высотой h с основанием dsdn (рисунок 1.2).

При этом будем иметь:

ρghI dsdn–hτ_sn dn+h(τ_sn+(∂τ_sn/∂n)dn)– τ_дdχ ds = 0. (1.18)

Здесь первое слагаемое выражает проекцию составляющей силы веса на ось ss, второе и третье слагаемое – силы трения, обусловленные касательными турбулентными напряжениями τ_sn, действующими на боковые грани элементарного отсека, четвертое слагаемое – силу трения по дну, причем τ_д – касательные напряжения на дне, а dχ – элементарный отрезок смоченного периметра.

После несложных упрощений получим:

ρghI+h(∂τ_sn/∂n)– τ_д(dχ/dn) = 0. (1.19)

Это уравнение плановой задачи равномерного движения в напряжениях. Если ввести касательные напряжения на дне τ₀, отнесенные к горизонтальной проекции площадки дна dsdn, исходя из условия

τ_дdχ ds= τ₀dn ds (1.20)

или

τ₀ = τ_д(dχ/dn) = τ_д√1+(dh/dn)², (1.21)

то уравнение (1.19) можно записать в виде

gI+1/ρ(∂τ_sn/∂n)–τ₀/ρh = 0. (1.22)

Так как I = –∂H/∂s, то уравнение (1.22) и (1.17) идентичны.

Зависимость (1.21), связывающая τ₀ и τ_д, получена при выводе уравнения (1.22) из условия динамического продольного равновесия. Ее можно представить в виде

τ₀= τ_д(h/R_h). (1.23)