Методы_оптимизации_7_8_9
.pdf
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
1 |
|
|
|
|
39 |
|
∞ |
20 |
28 |
12 |
32 |
||
2 |
21 |
∞ |
15 |
9 |
17 |
27 |
3 |
30 |
25 |
∞ |
45 |
29 |
47 |
4 |
7 |
52 |
40 |
∞ |
15 |
1 |
5 |
60 |
46 |
11 |
5 |
∞ |
34 |
6 |
11 |
45 |
14 |
21 |
30 |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
Рис.2
Выполнение. Воспользуемся приведенной выше моделью для представления исходных данных, целевой функции и ограничений на рабочем листе MS EXCEL (рис. 3).
Рис.3
На рис. 4 приведены формулы, находящиеся в ячейках G8:G13, A14:F14, B17:F21 соответственно.
21
Рис.4
На рис.5 – 7 приведены состояние окна диалога надстройки «Поиск решения» и его параметров, а также рабочего листа MS EXCEL.
Рис.5
Рис.6
22
Рис.7
На рис.8 показано полученное значение целевой функции. Оно полностью совпадает с расчетным значением.
Рис.8
Полученный контур можно увидеть на рис.7 в ячейках, соответствующих изменяемым ячейкам: 1 в изменяемых ячейках на рис.7 означает включение соответствующей дуги в контур. При расчетах с помощью MS EXCEL получен контур, приведенный на рис.9 справа.
Рис.9
23
№8. Решение задачи о максимальном потоке и минимальном разрезе с использованием надстройки MS EXCEL «Поиск решения»
Для получения математической модели задачи введем неотрицательные целочисленные переменные xij, которые интерпретируются как величина потока по дуге (i, j). Тогда математическая модель может иметь, например, такой вид, как на рис.1.
Ограничение (2) требует, чтобы величина потока, выходящего из источника s, была равна величине потока, пришедшего в вершину t. Ограничение (4) требует, чтобы искомый путь был связным, то есть проходил через вершины графа G. Ограничение (5) требует, чтобы все переменные модели были неотрицательными целочисленными переменными.
∑n |
xsj → max, |
|
|||
j =1 |
|
|
x ∆β |
|
|
|
|
|
|
||
n |
|
|
n |
= 0; |
|
∑xsj |
−∑xii |
||||
j =1 |
|
i=1 |
|
||
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
−∑x ji |
= 0 ( i {1, 2, ..., n}, i ≠ s, i ≠ t ); |
∑xij |
|||||
i=1 |
|
i=1 |
|
||
|
|
≤ xij |
≤ cij |
|
|
0 |
|
|
|||
|
|
|
Z 1 ( i, j {1, 2, ..., n}). |
||
x |
ij |
||||
|
|
|
|
||
Рис.1
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Задание. Используя приведенную на рис.2 сеть, найти максимальный поток с использованием надстройки «Поиск решения».
Рис.2
24
Выполнение. Расположим исходные данные на рабочем листе так, как на рис.3. В столбец Е введены ограничения в соответствии с моделью для данной индивидуальной задачи. На рис.4 приведено окно диалога надстройки «Поиск решения», а на рис. 5 – полученное решение. Величина максимального потока в точности равна полученному значению при использовании алгоритма ФордаФалкерсона.
Рис.3
Рис.4
25
Рис.5
26
№9. Решение задачи о поиске кратчайшего пути с пользованием надстройки MS EXCEL «Поиск решения»
Для получения математической модели задачи введем булевы переменные xij, которые интерпретируются следующим образом: xij=1, если дуга (i, j) входит в маршрут; xij=0, если дуга (i, j) не входит в маршрут. Тогда математическая модель может иметь, например, такой вид, как на рис.1.
Ограничение (2) требует, чтобы искомый путь начинался в вершине s. Ограничение (3) требует, чтобы искомый путь заканчивался в вершине t. Ограничение (4) требует, чтобы искомый путь был связным, то есть проходил через вершины графа G. Ограничение (5) требует, чтобы все переменные модели были булевыми.
|
n |
n |
|
∑∑cij xij → min, |
|||
i=1 j=1 |
x ∆β |
||
|
|||
∑n |
xsj −∑n |
xis =1; |
|
j=1 |
|
i=1 |
|
n |
|
n |
|
∑xtj −∑xit = −1; |
|||
j=1 |
|
i=1 |
|
∑n |
xij −∑n |
x ji = 0 ( i {1, 2, ..., n}, i ≠ s, i ≠ t); |
|
i=1 |
|
i=1 |
|
xij |
{0,1}( i, j {1, 2, ..., n}). |
||
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Рис.1 Задание. Используя приведенный на рис.2 граф, найти кратчайший путь
между вершинами 1 и 10 с использованием надстройки «Поиск решения». Выполнение. В заданном графе 10 вершин и 16 дуг. Следовательно,
переменными математической модели этой индивидуальной задачи о построении кратчайшего пути являются 16 переменных:
x12 , x15 , x23 , x24 , x34 , x35 , x46 , x54 , x57 , x69 , x6,10 , x67 , x78 , x7,10 ,
x8,10 , x9,10 .
27
|
Рис.2 |
Математическая постановка такой индивидуальной задачи имеет |
|
следующий вид: |
|
5x12 + 6x15 + 4x23 +9x24 +3x34 + 2x35 +3x46 + 4x54 +5x57 + 7x69 + |
|
+ 6x6,10 +5x67 |
+ 2x78 +8x7,10 + 7x8,10 +10x9,10 →min, |
|
x∆β |
где множество ограничений выглядит так, как на рис.3.
Воспользуемся надстройкой «Поиск решения», входящей в состав MS EXCEL. Расположим исходные данные на рабочем листе, например, так, как на рис.4. В ячейках показаны формулы, связывающие переменные модели. Целевая функция находится в ячейке Е19. На рис.5 приведено окно диалога надстройки перед запуском на выполнение. На рис.6 показан результат работы надстройки, а на рис.7 – путь из вершины 1 в вершину 10 минимальной длины. Это значение совпадает с решением, полученным в соответствии с алгоритмом Дейкстры.
28
x12 + x15 |
=1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x |
|
+ x |
|
|
+ x |
|
|
+ x |
|
=1; |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
6,10 |
7,10 |
|
|
8,10 |
|
|
9,10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x |
− x |
− x |
|
= 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
12 |
|
23 |
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x23 − x34 − x35 = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x |
+ x |
− x |
|
= 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
34 |
|
24 |
|
|
46 |
− x |
|
= 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x |
+ x |
− x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
35 |
|
15 |
|
|
54 |
|
|
57 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x |
− x |
− x |
|
− x |
|
= 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
46 |
|
67 |
|
|
69 |
|
|
|
6,10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
+ x67 − x78 − x7,19 = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
x57 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
x78 − x8,10 = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x |
− x |
|
= 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
69 |
|
9,10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
, |
x , x |
|
, x |
24 |
, |
x |
|
, |
x |
, x |
, |
x |
, x |
, x |
, x |
, x |
, |
||||
|
12 |
|
15 |
23 |
|
|
34 |
|
35 |
|
46 |
|
54 |
57 |
69 |
6,10 |
67 |
|
||||
x |
, |
x |
, |
x |
|
, |
x |
|
|
. {0,1}. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
78 |
|
7,10 |
|
8,10 |
|
|
9,10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Рис.3
Рис.4
29
Рис.5
Рис.6
Рис.7
30