ТСвИС / синтез цифровых автоматов (теоретические основы ТС ИС)

130

2. Знаки, знакосочетания и кванторы

Знаки. К знакам относят: логические знаки (V, , ... ); буквы; специальные зна-

ки (=, , ... ).

Знакосочетания. Знакосочетание – последовательность знаков, написанных рядом друг с другом, причем некоторые знаки, отличные от букв, могут быть соединены линиями, идущими над строкой и называемыми связями.

Термами называют знакосочетания, составленные по некоторым правилам математической теории. Термы – это знакосочетания, изображающие объекты (предметы), а соотношения – формулы, изображающие утверждения, которые можно делать об этих предметах.

Примеры:

1)предметы могут изображать буквы или сводиться к одной букве (если задано условие, что «знакосочетание А есть буква»);

2)если В – утверждение, то В, так называемое отрицание этого утверждения В, также есть утверждение, которое читается: «не В» (если задано условие, что в последовательности существует знакосочетание В, предшествующее А, такое, что А есть В);

3)если А – соотношение, то «не (А)» можно писать вместо А;

4)если А и В – соотношения, то можно писать «(А) или (В)» вместо АВ, а также (А) (В) вместо АВ;

5)если А – алфавит, то под примитивным термом понимается любая конечная

последовательность знаков из алфавита А вида ϕ (х1, ..., хm), где ϕ обозначает m – местный функтор (m = 1, 2, ... ), а х1, ..., хm – свободные индивидные переменные.

Квантор. Если А – знакосочетание и х – буква, то знакосочетание ( х)А обозначается (читается) «существует такое х, что А». Знакосочетание ( х)А читается «для всех х А» или «каково бы ни было х, А». Символы и соответственно квантор существования и квантор общности. ( , – перевернутые первые буквы английских слов Exist – «существует» и All – «все»).

Например, пусть запись А(х) означает, что х обладает свойством А, тогда запись х А(х) обозначает утверждение «все х обладают свойством А», а записьх А(х) означает, что «существует по крайней мере один предмет х, обладающий свойством А».

Символ ( х) также называется квантором существования по переменной х, его читают: «существует х такой, что ... » или «для некоторого х ... ». Символ ( х) называется квантором общности по переменной х, его читают: «для всех х» или «для каждого х».

3. Множество

Множество. Под множеством (синонимы: совокупность, класс, система) понимается некоторая совокупность объектов, которые называются элементами этого множества.

Способы задания множеств:

1)с помощью перечисления элементов, которые записываются внутри фигурных скобок через запятую. Например, Х = {x1, x2, x3};

2)с помощью характеристического свойства – общего свойства объектов, из которых образовано множество: Х = {x | x обладает свойством Q}, где вертикальная

131

черта после х означает «таких, что», т. е. Х – множество элементов таких, что они обладают свойством Q.

Множество Х называется подмножеством множества Y (иначе – Х входит в Y), если и только если каждый элемент множества Х принадлежит множеству Y. Обозначение: X Y или Y X.

Например, если каждый элемент множества Х принадлежит множеству Y, то записывают X Y и говорят, что Х является подмножеством множества Y. Отношение называется включением.

Операции над двумя множествами Х и Y:

1.Объединение Х Y.

2.Пересечение Х Y.

3.Дополнение Х и Y .

4.Разность Х \ Y.

5.Произведение Х Y.

Декартовым или прямым произведением Х Y называется множество всех упорядоченных пар, первый и второй компоненты которых принадлежат соответственно множествам X и Y. Множество Х называется первым, а множество Y вторым сомножителем произведения Х и Y. Меняя ролями множества Х и Y, получаем декартово произведение Y X, которое отлично от декартова произведения Х Y, если Х ≠ Y.

Любое подмножество Р Х Y произведения множеств Х и Y называется бинарным соответствием из Х в Y. При этом множество Х называется областью от-

правления, а множество Y – областью прибытия соответствия Р.

Иногда для определения операции произведения множеств используют понятие кортежа (вектора). Вместе с понятием кортежа вводится понятие компонента (координаты).

Регулярные и нерегулярные множества. Класс множеств цепочек над конеч-

ным словарем V называют регулярными множествами.

Пусть V1 и V2 – множества цепочек, тогда на этих множествах цепочек можно определить следующие операции:

1.Объединение V1 и V2 = {α | α V1} или α V2.

2.Конкатенация (произведение, склеивание): V1 V2 = {αβ | α V1, β V2}. Знак конкатенации обычно опускается.

Например, V1 = {abc, ba}, V2 = {b, cb}. V1 V2 = {abcb, abccb, bab, bacb}.

Обозначим через Vn произведение n множеств V, т. е. Vn = VV ... V при V0 = {ε}, где ε – пустая цепочка.

Например, V1 = {abc, ba}, V12 = {abcabc, abcba, baba, baabc}. 3. Итерация: V* = V0 V1 V2 ...

Например, V = {a, bc}, V* = {ε, a, bc, aa, abc, bc, bc, bca, aaa, aabc, ... }.

Правила для класса регулярных множеств над конечным словарем V:

1.– регулярное множество;

2.{ε} – регулярное множество;

3.( а V) {a} – регулярное множество;

4.Если А и В – регулярные множества, то регулярны:

-объединение А В;

-конкатенация АВ;

132

- итерации А* и В*.

Если множество не может быть построено конечным числом правил для регулярных множеств, то оно нерегулярно.

Примеры:

1)регулярные множества: {ab, ba}* {a, a}; {b} ({c} {α, ab}*);

2)нерегулярные множества: {an bn | n>0}; {α | в цепочке α количества вхождений символов a и b совпадают}.

4. Функция

Функция. Если Х и Y – два множества, то отображением множества Х в множество Y называют функцию f, у которой область отправления (равная области определения) равна Х, а область прибытия равна Y. Можно также и по-другому утверждать (читать):

1)«функция f определена на Х и принимает свои значения в Y»;

2)«пусть f есть отображение Х в Y»;

3)«пусть дано отображение f: Х → Y» или проще: «пусть f: Х → Y».

Термины отображение, функция, преобразование всегда будут иметь одинако-

вый смысл, а запись

f: Х → Y

будет указывать (читается), что «f – отображение, определенное на множестве Х со значениями из множества Y».

Множество Х называется областью определения или доменом функции f. Множество Y называется областью значения или диапазоном функции f.

Функция f, определенная на множестве Х и принимающая значения из множества Y, называется также отображением Х в Y.

Домен и диапазон называют соответственно первой и второй проекциями f и обозначаются np1f и np2f.

Отображение f множества Х в множество Y называется отображением Х на Y, если np2f = Y. Отображение f множества Х в множество Y называется взаимнооднозначным, если образами двух любых различных элементов множества Х являются различные элементы множества Y.

Пример. Пусть Х - некоторое множество элементов информации, представленных тем или иным образом, Y - другое множество элементов информации, а f - функция преобразования. Тогда преобразователь информации можно представить устройством, реализующим отображение f: Х → Y одного множества на другое.

134

Библиографический список

1.Алгебраическая теория автоматов, языки и полугруппы. / Под ред. М. А. Арбиба М.: Статистика, 1975. – 120 с. , ил.

2.Апериодические автоматы. /Под ред. В. И. Варшавского. – М.: Наука, 1976. – 423

с.

3.Баранов С. И. Синтез микропрограммных автоматов. Л.: Энергия, 1979. –232 с.,

ил.

4.Букреев И. Н. и др. Микроэлектронные схемы цифровых устройств. – М. : Сов. ра-

дио, 1975. – 368 с.

5.Гилл А. Линейные последовательностные машины. – М. : Наука, 1974. – 288 с.

6.Гинзбург С. Математическая теория контекстно–свободных языков. – М. : Мир, 1970. –328 с.

7.Гладкий А. В. Формальные грамматики и языки. – М. : Наука, 1973. – 368 с.

8.Глушков В. М. и др. Логическое проектирование дискретных устройств. – Киев: Наукова думка, 1987. – 264 с.

9.Глушков В. М. Синтез цифровых автоматов. – М. : Физматгиз, 1962. – 476 с. , ил.

10.Закревский А. Д. Алгоритмы синтеза дискретных автоматов. – М. : Наука, 1971. –

511с.

11.Каган Б. М. Электронные вычислительные машины и системы. – М. : Энергоатом-

издат, 1985. – 306 с.

12.Котов В. Е. Сети Петри. – М. : Наука, 1984. – 158 с.

13.Кудрявцев В. Б. Введение в теорию автоматов. – М. : Наука, 1985. – 319 с. , ил.

14.Кузин Л. Т. Основы кибернетики. Т. 2. Энергия, 1979. – 584с.

15.Лазарев В. Г. , Пийль Е. И. Синтез управляющих автоматов. – М. : Энергия, 1978.

– 408 с.

16.Леснин А. А. и др. Сети Петри в моделировании и управлении. – Л. : Наука, 1989.

– 133 с.

17.Логическое проектирование БИС /Под ред. В. А. Мищенко– М. : Радио и связь, 1984. – 311 с.

18.Мелихов А. Н. Ориентированные графы и конечные автоматы. – М. : Наука, 1971.

– 416 с.

19.Периодические автоматы / Под ред. В. И. Варшавского. – М. : Наука, 1976. – 178 с.

20.Питерсон Д. Теория сетей Петри и моделирование систем. – М. : Мир, 1984. – 264

с.

21.Поспелов Д. А. Логические методы анализа и синтеза схем. – М. : Энергия, 1974. –

368с.

22.Рабинович З. Л. Основы теории элементных структур ЭВМ. – М. : Радио и связь, 1982. – 279 с.

23.Савельев А. Я. Прикладная теория цифровых автоматов. –М. : Высшая школа, 1987. –272с. , ил.

24.Чирков М. К. Основы общей теории конечных автоматов. – Л. : ЛГУ, 1975. –280 с.,

ил.

135

Учебное издание Захаров Николай Григорьевич Рогов Виктор Николаевич Синтез цифровых автоматов

Учебное пособие Редактор М. В. Леонова

Подписано в печать 30.10.2003. Формат 60×84/16. Бумага офсетная. Печать трафаретная. усл. печ. л. 8,00. Уч.-изд. л. 8,00. Тираж 100 экз. заказ.

УлГТУ 432027, г. Ульяновск, ул. Сев. Венец, д. 32.

Типография УлГТУ, 432027, г. Ульяновск, ул. Сев. Венец, д. 32.