2012_phys_lp

Физические основы механики, физика колебаний и волн, термодинамика: лабораторный практикум / под ред. Богданова В.И.

11

dp ( x)

(1.5)

dx

Теперь с помощью функции распределения мы хотя и не можем указать точно, чему равно истинное значение X измеренной величины, но можем найти, с какой вероятностью p величина x окажется в интервале значений a < x < b . Эта область значений называется доверительным интервалом, а

связанная с ним величина p – доверительной вероятностью.

чины xi (i=1, 2, 3, …., N ). Построим по этим наблюдениям среднее арифме-

тическое

Квадрат этой величины σ 2 называется дисперсией. Величины х , σ , σ 2 определяют плотность распределения результатов наблюдения (или плотность вероятности f (x) ). Обычно предполагают, что плотность вероятности подчиня-

ется нормальному закону распределения и описывается функцией распределения Гаусса:

вероятность выражается заштрихованной площадкой на рис. 1.1. Очевидно, что полная площадь под кривой f (x) равна 1 (или 100%).

Вологодский государственный технический университет

Физические основы механики, физика колебаний и волн, термодинамика: лабораторный практикум / под ред. Богданова В.И.

величины Х . Поэтому при проведении конечного числа измерений (а на практике только это и возможно!) не удается установить истинное значение Х . Можно

раничено). Поэтому для оценки используют ее приближенное значение, назы-

ваемое среднеквадратичной погрешностью (среднеквадратичное отклоне-

ние среднего значения х ):

ные погрешности измерений при большом числе измерений. В инженерной практике (при N < 10 ) вместо распределения Гаусса следует использовать распределение Стьюдента. В этом случае можно показать, что для каждой доверительной вероятности p можно найти такое число t N ,P , называемое коэффици-

ентом Стьюдента, что погрешность прямых измерений может быть оценена следующим образом:

Величину x еще называют доверительной случайной погрешностью результата измерения, а вероятность p – надежностью (доверительной вероятно-

стью) результата. Зная число измерений в опыте N и задавая надежность p

(обычно принимают p = 95% ), по таблице в приложении находят значение ко-

эффициента Стьюдента.

Вологодский государственный технический университет

Физические основы механики, физика колебаний и волн, термодинамика: лабораторный практикум / под ред. Богданова В.И.

13

Окончательно результаты измерения можно записать в виде:

Методика измерений

Работа выполняется одновременно всей подгруппой, разбитой на бригады по 2 человека. Преподаватель запускает метроном (на каждом занятии может быть задана своя частота колебаний метронома) и каждая бригада получает конкретное задание: измерить длительность двух качаний метронома, другой бригаде – трех качаний и т. д., то есть каждая бригада будет измерять свой временной интервал. При отсутствии метронома временные интервалы могут задаваться по часам, имеющимся в каждой бригаде. В этом случае каждая бригада также получает свое конкретное задание: провести точное измерение 5- секундного интервала, для другой бригады – 7- секундного и т. д.

Каждое измерение выполняется вдвоем: один студент дает команды на включение и выключение секундомера (ориентируясь на метроном или показания часов), а другой осуществляет запуск секундомера и его остановку и регистрирует результат в таблице. При этом важно, чтобы первый студент не знал результатов каждого конкретного измерения (требование независимости измерений).

Полученные результаты используются для достижения двух целей: одна – научиться выполнять оценку погрешности прямых измерений, другая – убедиться в действии закона нормального распределения при проведении измерений, сопровождающихся случайной погрешностью.

Порядок выполнения работы

Задание 1. Определение погрешности прямых измерений.

1.Бригада выполняет 50 измерений указанного преподавателем интервала времени τ . Результаты занесите в таблицу 1.1 (столбец 2).

2.По формуле 1.7 вычислите среднее арифметическое τ .

3. Найдите отклонения каждого измерения от среднего τ i = τ i − τ (столбец

3) и ( τ i )2 (столбец 4).

4.По формуле 1.10 вычислите выборочное среднее квадратическое отклонение S .

5. По таблице в приложении найти коэффициент Стьюдента tp,N (для N = 50 , p = 0,95 ).

Вологодский государственный технический университет

Физические основы механики, физика колебаний и волн, термодинамика: лабораторный практикум / под ред. Богданова В.И.

14

6.Найдите доверительный интервал Dτ = t N , P × S .

7.Запишите результат измерений промежутка времени в виде: τ =τ ± Dτ .

Задание 2. Построение кривой распределения.

1.Выберите из результатов измерений наибольшее τ наиб и наименьшее τ наим

значения интервалов времени. Определите промежуток изменений интерва-

лов времени τ наиб −τ наим .

2.Разбейте весь промежуток на 10 равных частей (зон) h = τ наиб. −τ наим.

10

3.Заполните столбцы таблицы 1.2.

-Подставьте конкретные числа, характеризующие границы зон (столбец 2).

-Подсчитайте количество значений n измеренных интервалов времени τ, попадающих в данную зону (столбец 3).

-Подсчитайте относительное число измеренных интервалов времени, по-

4. Постройте гистограмму (см. рис.1.2). Построение выполняйте на милли-

метровке! Для этого по оси абсцисс отложите значения измеренных интер-

валов времени, укажите на оси τ наименьшее и наибольшее значения τ наим и

τ наиб , проведите разбиение на 10 зон шириной h . На каждой зоне постройте прямоугольник, высота которого равна относительному числу измеренных

связь между соответствующими значениями 4 и 2 столбцов таблицы 1.3.

Вологодский государственный технический университет

Физические основы механики, физика колебаний и волн, термодинамика: лабораторный практикум / под ред. Богданова В.И.

15

5. Нарисуйте кривую плотности распределения результатов измерений. Для этого отметьте точками середины вершин построенных прямоугольников и постройте по этим точкам плавную кривую (см. рис. 1.2).

6.Найдите среднее арифметическое τ .

fmax

7. Найдите среднеквадратическое отклонение S .

Вологодский государственный технический университет

Физические основы механики, физика колебаний и волн, термодинамика: лабораторный практикум / под ред. Богданова В.И.

16

8.Найдите по графику доверительный интервал для надежности p = 0.95 . Он

примерно равен x = 2σ .

Контрольные вопросы

1.Что понимается в физике под измерением? Приведите примеры.

2.Как подразделяются измерения? Поясните, приведите примеры.

3.Почему при проведении измерений появляются погрешности? Можно ли выполнить измерения "точно"?

4.Какие бывают погрешности? Дайте им характеристики, приведите примеры их появления.

5.Как учесть систематические погрешности? Промахи?

6.Какие предположения лежат в основе теории случайных погрешностей?

7.Какими основными величинами оперирует теория случайных погрешностей? Поясните их физическую суть.

8.Сколько нужно выполнить измерений, чтобы можно было воспользоваться законом нормального распределения?

9.Что такое "доверительный интервал", "надежность"?

10.Как на практике находят доверительный интервал при заданной надежности? Что такое коэффициент Стьюдента?

11.Как по виду функции Гаусса (по графику) определить дисперсию?

12.Что такое "гистограмма"?

13.Подтверждается ли в Вашей работе предположение о том, что результаты измерений подчиняются закону нормального распределения?

14.Как найти погрешность косвенных измерений?

15.Является ли полученная кривая распределения кривой Гаусса?

Используемая литература

[8]; [9].

Вологодский государственный технический университет

Физические основы механики, физика колебаний и волн, термодинамика: лабораторный практикум / под ред. Богданова В.И.

17

Лабораторная работа 1–02 Определение плотности образца

Цель работы: изучение устройства, характеристик и правил работы с основными измерительными приборами, вычисление погрешности прямых и косвенных измерений на примере измерения плотности образца.

Теоретическое введение Плотность. Распределение вещества в пространстве характеризуется не-

которой величиной, называемой плотностью. Плотность – это масса единицы объёма вещества. Если вещество равномерно распределено в пространстве, то плотность

массы вещества и объем, занимаемый массой. Для твердых тел величина объема зависит от их геометрической формы. Для тел правильной геометрической формы объем определяется по заранее известным формулам. Так, например, объем прямоугольного параллелепипеда определяется выражением (2.3), где a, b и h – длина, ширина и высота соответственно; сплошного цилиндра – выражением (2.3а), где d – диаметр сплошного цилиндра, h – его высота; для полого цилин-

Масса твердого тела может быть определена путем взвешивания на весах. Взвешиванием называется метод определения массы тела путем сравнения его

Вологодский государственный технический университет

Физические основы механики, физика колебаний и волн, термодинамика: лабораторный практикум / под ред. Богданова В.И.

18

веса с весом эталонных тел – гирь. Существует большое число конструкций весов разного назначения.

Измерения. Физика является опытной наукой, поэтому умение наблюдать физические процессы и измерять разные физические величины в физике имеет особое значение.

Измерить величину – значит сравнить ее с другой однородной величиной, принятой за единицу измерения. Следовательно, под измерением следует понимать сравнение измеряемой величины с другой величиной, принятой за единицу измерения.

Такие измерения называют прямыми. При прямых измерениях определяемую величину сравнивают с единицей измерения непосредственно или при помощи измерительного прибора, проградуированного в соответствующих единицах.

Прибором обычно называют измерительное устройство, градуированное чаще всего непосредственно в единицах измерения. Измерительная установка обычно включает в себя несколько приборов и вспомогательных устройств. Резкую грань между прибором и установкой провести трудно.

Кроме измерительных приборов, применяют еще и эталонные образцы, воспроизводящие ту или иную физическую величину – меры или наборы (магазины) мер. Сюда относятся гири, катушки и магазины сопротивлений и индуктивностей, нормальные гальванические элементы (эталоны электродвижущей силы) и т.д.

Измерительные приборы и установки характеризуются пределами измерения и чувствительностью.

Чувствительностью прибора или установки называют отношение перемещения указателя к вызвавшему его изменению измеряемой величины. Перемещение указателя обычно измеряют в миллиметрах или в делениях шкалы, нанесенной на приборе. На практике часто вводят вместо линейного перемещения l угол поворота ϕ . Таким образом, чувствительность E определяется как

Иногда понятие чувствительности определяют как отношение сигналов на входе и выходе преобразователя.

В зависимости от вида функции l = f (x) чувствительность может быть ли-

бо постоянной величиной (l пропорционально x ), либо величиной, зависящей от x . В первом случае прибор имеет линейную шкалу, во втором – нелинейную. Нелинейность шкалы обычно усложняет измерения, но иногда она позво-

Вологодский государственный технический университет

Физические основы механики, физика колебаний и волн, термодинамика: лабораторный практикум / под ред. Богданова В.И.

19

ляет увеличить чувствительность в нужной области значений измеряемой величины за счет ее уменьшения в других областях.

Наряду с чувствительностью E при измерениях используется пороговая чувствительность, т.е. минимальное изменение измеряемой величины, которое может быть отмечено данным прибором. Этот порог, очевидно, тем ниже, чем больше E .

Цена деления шкалы в случае приборов, шкала которых градуирована в единицах, пропорциональных линейному перемещению (т.е. в миллиметрах или в градусах), есть величина, обратная чувствительности Е

где α по-прежнему имеет смысл линейного l или углового ϕ перемещения.

Величина C удобнее, чем E , для перевода отсчетов по прибору α в показания прибора (соответствующие значения измеряемой величины).

Точность прибора определяется погрешностью измерения этим прибором. В этом смысле между точностью и чувствительностью существует определенное соотношение. Однако такого принципа градуировки придерживаются далеко не всегда, и поэтому не следует путать точность и чувствительность. Точность прибора, как правило, указывается в его паспорте или на его шкале. Указывается максимальная абсолютная или относительная погрешность градуировки.

Приборы и меры в зависимости от точности разделяются на классы: первый (высший), второй и т.д. Допускаемые погрешности для каждого класса определяются государственными стандартами на приборы соответствующего типа. Для некоторых типов приборов и мер (например, для электроизмерительных) класс точности выражается числом, указывающим в определенной форме основную погрешность градуировки, т.е. максимальную ошибку, допускаемую при работе в нормальных условиях. Так, например, для эталонов сопротивления, индуктивности и ёмкости класс – это число, выражающее в процентах относительную погрешность воспроизведения соответствующей величины.

Если условия отклоняются от нормальных, то возникает дополнительная погрешность, величина которой определяется особыми условиями, различными для разных типов приборов.

С учетом вышеизложенного, при однократном измерении величина, измеренная прибором, не может быть точнее минимального значения цены деления шкалы данного прибора. Поскольку обычно показания прибора не совпадают с целым числом делений его шкалы, то в качестве значения измеряемой величины берется показание прибора или с недостатком или с избытком в зависимо-

Вологодский государственный технический университет

Физические основы механики, физика колебаний и волн, термодинамика: лабораторный практикум / под ред. Богданова В.И.

20

сти от положения указателя. Пусть, например, при измерении миллиметровой линейкой длины край предмета оказывается между 25 и 26 делениями. Длина предмета в этом случае будет равна 25 мм с недостатком или 26 мм с избытком. На практике обычно выбирается то показание линейки, которое ближе к краю предмета. Максимальная ошибка измерения длины предмета при этом не превышает 0,5 мм, т.е. половины цены деления линейки.

Таким образом, если не указывается класс точности прибора, то за величину погрешности принимается половина цены деления шкалы прибора.

Несмотря на многообразие физических величин, непосредственно измерять можно лишь некоторые из них. Примером таких непосредственных (прямых) измерений является измерение длин.

Для измерения линейных величин пользуются различными приборами и инструментами. Наиболее простыми из них являются масштабная линейка, штангенциркуль и микрометр.

Экспериментальная часть

Приборы и оборудование: штангенциркуль, линейка, микрометр, весы, образцы.

Масштабная линейка представляет собой прямоугольную пластинку с нанесенными на ней миллиметровыми делениями. При этом ширина штриха находится в пределах 0.08÷0.15 мм. Допускаемая погрешность самой длины линейки нормируется стандартом:

При измерении длины предмета масштабной линейкой (например с ценой деления 1 мм) считают верными цифры, обозначающие число целых делений. Максимальная ошибка не превосходит половины цены деления линейки, т.е. 0,5 мм.

Чтобы измерить длины с большей точностью, пользуются приборами с нониусом: штангенциркулем и микрометром.

Нониус – это дополнительная шкала, позволяющая более точно отсчитывать доли наименьшего деления основной шкалы. При использовании нониуса можно повысить точность измерений с данным масштабом в 10-100 раз.

Вологодский государственный технический университет