2012_phys_lp
.pdf
Физические основы механики, физика колебаний и волн, термодинамика: лабораторный практикум / под ред. Богданова В.И.
|
|
|
|
|
91 |
|
|
|
|
|
|
||
Iϕ′′ + mgℓsinϕ = 0 , |
|
или |
ϕ¢¢ + |
mgℓ |
sinϕ = 0 . |
(12.8) |
|||||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
При малых углах sinϕ = ϕ , и уравнение (12.8) будет иметь вид: |
|
||||||||||||
|
|
|
|
ϕ¢¢ + |
mgℓ |
ϕ = 0 . |
(12.9) |
||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
Сравнивая (12.9) и (12.5), устанавливаем, что j изменяется по гармониче- |
|||||||||||||
скому закону с круговой частотой ω, причем |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
ω 2 = |
mgℓ |
, |
(12.10) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|||
а период колебаний маятника |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2π |
= 2π |
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mgℓ . |
|
|
|
(12.11) |
|
|
|||||
T = ω |
|
|
|
|
|
||||||||
Частным случаем физического маятника является |
|
||||||||||||
маятник математический. Если вся масса маятника |
|
||||||||||||
сосредоточена в одной точке |
(например, |
|
шарик, |
|
|||||||||
подвешенный на невесомой нерастяжимой нити), то
такой маятник называют математическим
(рис.12.3). Для математического маятника момент инерции рассчитывается как для материальной точки:
I = mℓ2 , поэтому период его колебаний равен:
T = 2π |
mℓ2 |
= 2π |
ℓ |
. |
(12.12) |
mgℓ |
|
||||
|
|
g |
|
||
Формулу (12.12) можно получить, непосредст-
венно записав второй закон Ньютона для материаль- |
Рис.12.3 |
|||||||||||
|
|
|
||||||||||
ной точки. На шарик, подвешенный на |
нити |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(рис.12.3), действуют сила тяжести m |
g |
и сила натяжения нити |
|
нат. , тогда |
||||||||
F |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(12.13) |
||||
ma |
= mg + F нат. . |
|
||||||||||
Сила натяжения нити F нат. не имеет касательной составляющей, а проекция силы тяжести для малых углов φ равна Fx = −mg sinϕ = −mgϕ , тогда каса-
тельное ускорение aτ = −gϕ . Угол отклонения маятника из положения равно-
весия ϕ = |
x |
, где x – отклонение из положения равновесия. Наконец, |
касатель- |
||
|
|||||
|
ℓ |
|
|
|
|
ное ускорение – это вторая производная координаты x, тогда |
|
||||
|
|
a = x¢¢ = -gϕ = - |
g |
× x . |
(12.14) |
|
|
|
|||
|
|
τ |
ℓ |
|
|
Вологодский государственный технический университет
Физические основы механики, физика колебаний и волн, термодинамика: лабораторный практикум / под ред. Богданова В.И.
92
Отсюда x¢¢ + g × x = 0 . Это дифференциальное уравнение гармонических
ℓ
колебаний идентично (12.5), если ω02 = g ; следовательно, (12.12) доказано.
ℓ
Приведенной длиной физического маятника называется длина такого математического маятника, который имеет тот же период колебаний, что и данный физический маятник:
T = 2π |
I |
= 2π |
ℓпр. |
. |
(12.15) |
mgℓ |
|
||||
|
|
g |
|
||
В лабораторной работе используется физический маятник в виде кольца (рис.12.4) или в виде однородного тонкого стержня (рис.12.5). Момент инерции маятника относительно точки подвеса О можно найти по
теореме Штейнера: момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через
центр масс параллельно данной оси, и произведения |
|
Рис.12.4 |
|
массы тела на квадрат расстояния между осями. |
|
Для кольца получим: |
|
I o = Ic + mr 2 . |
(12.16) |
Здесь I o – момент инерции маятника относительно оси, проходящей через |
|
точку подвеса O, IC – момент инерции относительно оси, |
проходящей через |
центр масс – точку C, r – расстояние между осями. Момент инерции полого (толстостенного) цилиндра или кольца массой m с внутренним радиусом r и наружным R относительно оси, проходящей через центр масс, равен:
|
|
Iс |
= |
1 |
m (R2 + r 2 ), |
|
|
(12.17) |
||
|
|
|
||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Тогда из (12.16) и (12.17) получаем: |
|
|
|
|||||||
Io = |
1 |
m(R2 + r 2 )+ mr 2 = |
1 |
m(R2 + 3r 2 )= |
1 |
m(D2 + 3d 2 ), |
(12.18) |
|||
|
|
8 |
||||||||
2 |
|
2 |
|
|
|
|||||
где D = 2R и d = 2r – внешний и внутренний диаметры кольца соответственно. Из (12.11) выразим ускорение свободного падения с учетом, что длина физического маятника равна расстоянию от точки подвеса до центра масс, то есть для кольца ℓ = r = d / 2 , и из (12.18) подставим момент инерции:
|
4π 2 |
|
Iо |
|
8π 2 |
m(D2 + 3d |
2 ) |
, |
||
g = |
|
× |
|
|
= |
|
× |
|
|
|
T 2 |
|
d |
|
8 |
|
|||||
|
|
m |
|
T 2md |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Вологодский государственный технический университет
Физические основы механики, физика колебаний и волн, термодинамика: лабораторный практикум / под ред. Богданова В.И.
93
и окончательно:
g = |
π |
2 |
× |
D 2 + 3d |
2 |
. |
(12.19) |
T |
2 |
d |
|
||||
|
|
|
|
|
Для стержня по теореме Штейнера получим:
|
I = Iс + ml 2 , |
(12.20) |
||
где I – |
момент инерции стержня относительно точки подве- |
|||
са О, l |
– расстояние между центром масс (центром стержня) |
|||
и точкой подвеса (длина физического маятника), Iс – |
момент |
|||
инерции стержня относительно центра масс: |
|
|||
|
Iс = |
mL2 |
, |
(12.21) |
|
|
|||
|
12 |
|
|
|
L – длина стержня, m – его масса. Можно показать, что для любого маятника приведенная длина lпр. больше, чем расстояние l от центра масс до точки подвеса (длины физического маятника): из (12.15) и (12.20) следует, что
lпр. |
= |
I |
= |
Iс + ml 2 |
= |
Iс |
+ l > l . |
ml |
ml |
|
|||||
|
|
|
|
ml |
|||
Точка О1, лежащая на прямой ОС на расстоянии lпр.от точки подвеса маятника (рис.12.5), называется центром ка-
Рис.12.5
чания маятника. Центр качания О1 и точка подвеса О обладают свойством взаимности: если маятник подвесить так, чтобы его ось кача-
ния проходила через точку О1, то точка О будет совпадать с новым положением центра качания маятника, то есть приведенная длина и период колебаний маятника останутся прежними. Покажем это. По теореме Штейнера момент инерции I1 маятника относительно оси, проходящей через точку О1, равен:
|
|
|
|
|
I |
= I |
с |
+ ml 2 . |
(12.22) |
|||
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|||
Из (12.20) и (12.22) вычислим Iс : |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
I |
с |
= I − ml 2 |
= I − ml2 . |
(12.23) |
|||||
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
||
Из (12.10) выразим момент инерции маятника I = |
mgl |
и запишем анало- |
||||||||||
ω 2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
гичную формулу для I : |
I |
1 |
= |
mgl1 |
. |
Здесь использовано условие, что частота |
||||||
|
||||||||||||
1 |
|
|
|
ω 2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
колебаний маятника относительно оси, проходящей через точку О1, должна быть той же самой, что и для оси, проходящей через точку О. Подставив оба момента инерции в (12.23) получим уравнение:
Вологодский государственный технический университет
Физические основы механики, физика колебаний и волн, термодинамика: лабораторный практикум / под ред. Богданова В.И.
94
mgl1 |
− ml |
2 |
= |
mgl |
− ml 2 . |
|
|
|
|||
ω 2 |
1 |
|
ω 2 |
||
|
|
|
|||
Далее |
после преобразований: |
|
g |
(l |
|
|
− l) = (l 2 |
− l 2 ) ; |
и после сокращения на |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ω 2 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
(l − l) |
получим: |
g |
= l + l . По определению приведенной длины физического |
|||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
1 |
|
ω 2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
маятника (12.15): |
g |
|
= l |
, то есть l |
|
|
= l + l , что и требовалось показать. |
|||||||||||||
ω2 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
пр. |
|
|
|
|
пр. |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
Для физического маятника – |
стержня из (12.15), (12.20) и (12.21): |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
mL2 |
+ ml 2 |
|
lпр. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
T = 2π |
|
|
|
|
|
|
= 2π |
|
, |
или |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mgl |
|
|
|
g |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lпр. = |
L2 |
+ l . |
|
|
|
(12.24) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12l |
|
|
|
|
|
|
|
Экспериментальная часть
Математический маятник
Примечание: выполнять только по заданию преподавателя.
Приборы и оборудование: секундомер, математический маятник (шарик на нити на штативе).
1.Ознакомьтесь с установкой. Определите длину математического маятника l . Отведите маятник от положения равновесия на небольшой угол (10÷15 0) и отпустите. Пропустив 2-3 колебания, включите секундомер и определите время t, за которое совершится N полных колебаний (взять N=50÷100). Вычислите период колебаний маятника по формуле (12.25):
T = t / N . |
(12.25) |
Вологодский государственный технический университет
Физические основы механики, физика колебаний и волн, термодинамика: лабораторный практикум / под ред. Богданова В.И.
95
Таблица 12.1
№ |
l , |
l , |
N |
t , |
t , |
T , |
Ti , |
|
g , |
g , |
|
E(g ), |
g , |
опыта |
м |
м |
|
с |
с |
с |
с |
|
м/с2 |
м/с2 |
|
% |
м/с2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Tср. = |
2 |
= |
gср. = |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ (DTi ) |
|
∑ (Dgi ) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T = |
|
|
g = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.Повторите опыт (можно установить другую длину маятника) не менее 3 раз. Вычислите значение ускорения свободного падения по формуле (12.26):
g = |
4π 2l |
|
|||
|
|
. |
(12.26) |
||
T |
2 |
||||
|
|
|
|||
3.Рассчитайте погрешности измерений.
4.Все результаты занесите в таблицу 12.1.
Замечание: Среднее значение периода рассчитывается только в том
случае, если длина маятника одна и та же во всех опытах. Тогда ускорение свободного падения g следует рассчитать один раз, исходя из среднего значения периода. В этом случае погрешность периода рассчитывается по стандартной методике расчета погрешностей случайной величины:
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ (DTi )2 |
|
|
|
DT = tn,α × |
i =1 |
, |
(12.27) |
||||||
n(n -1) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где n – число опытов, |
Ti = |
|
Ti − Tср. |
|
|
– абсолютная погрешность i-го опыта, tn,α – |
|||
|
|
||||||||
коэффициент Стьюдента для доверительной вероятности α=0.95. |
|
||||||||
Далее погрешность |
g рассчитывается по стандартной методике для рас- |
||||||||
чета погрешностей при косвенных измерениях: |
|
||||||||
Dg = |
¶g |
2 |
|
|
¶l |
Dl |
|
|
|
|
|
¶g |
|
2 |
|
||
+ |
|
DT |
. |
(12.28) |
|
¶T |
|||||
|
|
|
|
||
Если длина маятника в опытах была неодинаковой, ускорение свободного падения g рассчитывается в каждом опыте, затем усредняется, и его погреш-
Вологодский государственный технический университет
Физические основы механики, физика колебаний и волн, термодинамика: лабораторный практикум / под ред. Богданова В.И.
96
ность рассчитывается как при прямых измерениях случайной величины, то есть по формуле, аналогичной (12.27):
n
∑ (Dgi )2
Dg = tn,α i=1 - . n(n 1)
Физический маятник – кольцо (обруч).
Приборы и оборудование: секундомер, физический маятник (кольцо или обруч на штативе с опорной призмой), линейка, штангенциркуль.
1.Измерьте внешний D и внутренний диаметр d кольца.
2.Определите при помощи секундомера время t , за которое совершится N полных колебаний (N=30÷50). Вычислите период колебаний по формуле (12.25).
3.Повторите опыт не менее 3 раз (оптимально – 5).
4.Определите ускорение свободного падения по формуле (12.19), подставив в неё среднее значение периода колебаний.
5.Определите погрешность измерений:
|
|
|
|
|
|
¶g |
|
|
|
|
|
2 |
|
¶g |
|
2 |
|
|
¶g |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
Dg = |
|
|
|
|
|
|
DT |
+ |
|
|
|
|
DD |
|
+ |
|
|
|
Dd |
|
|
, где производные равны: |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
¶D |
¶d |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
¶T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
¶g |
|
|
|
2π 2 |
|
|
|
D2 |
+ 3d |
2 |
|
|
|
|
|
¶g |
|
|
2π 2 |
|
|
D |
¶g |
|
π 2 |
3d |
2 - D2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
= - |
|
|
|
|
|
× |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
× |
|
|
; |
|
|
= |
|
|
× |
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
¶T |
|
|
|
T 3 |
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
¶D |
|
|
|
T 2 |
|
|
d |
¶d |
|
T 2 |
|
d 2 |
||||||||||
6. |
Все результаты измерений и вычислений занесите в таблицу 12.2. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 12.2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
№ |
D , |
|
D , |
|
d , |
|
d , |
|
|
N |
t , |
|
t , |
|
|
T , |
|
|
|
Ti , |
|
|
T |
g , |
|
g , |
E(g ) |
|||||||||||||||||
|
|
м |
|
м |
|
|
м |
м |
|
|
|
|
|
с |
с |
|
|
|
|
с |
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
м/с2 |
м/с2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Tср. = |
|
2 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ (DTi ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Вологодский государственный технический университет
Физические основы механики, физика колебаний и волн, термодинамика: лабораторный практикум / под ред. Богданова В.И.
97
Физический маятник – стержень
Приборы и оборудование: секундомер, физический маятник (стержень с опорной призмой), штатив, линейка.
1.Измерьте длину стержня L .
2.Измерьте l – расстояние от точки подвеса стержня до его центра. Величина l не должна быть меньше 13 см.
3.Определите при помощи секундомера время t, за которое совершится N полных колебаний (30÷50). Вычислите период колебаний по формуле (12.25).
4.Повторите опыт 5 раз.
5.Рассчитайте погрешность периода по формуле (12.27).
6.Определите экспериментальное значение приведенной длины физического маятника (см. (12.15)), используя среднее значение периода колебаний:
l |
|
= |
T 2 |
g . |
(12.29) |
|
пр. |
4π 2 |
|||||
|
|
|
|
7. Рассчитайте погрешность приведенной длины:
lпр. = |
∂lпр. |
||
|
|
||
∂T |
|||
|
|
||
2 |
∂lпр. |
2 |
||
T |
+ |
|
g |
|
∂g |
||||
|
|
|
||
8. Найдите точку качания физического маятника; для этого нужно вычислить l1=lпр– l и закрепить опорную призму маятника на расстоянии l1 от центра стержня.
9.Повторите измерения времени t1 для N колебаний и расчеты периода T1 и его погрешности (пункты 3-5). Результаты запишите в таблицу 12.3.
10.Сравните T1 и T, сделайте выводы.
11. По формуле (12.24) определите lпр.теор. – теоретическое значение приведенной длины, рассчитайте погрешность:
|
|
lпр. = |
∂lпр. |
||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
∂l |
||||
|
|
|
|
|
|
||
где производные равны |
∂lпр. |
= − |
|
L2 |
|
+1 ; |
|
∂l |
|
|
|
||||
|
12l2 |
|
|
|
|||
2 |
∂lпр. |
||
l |
+ |
|
|
∂L |
|||
|
|
||
∂lпр. = 2L = ∂L 12l
L 2 ,
L (см. (12.24)).
6l
12.Все полученные данные запишите в табл.12.3.
13.Сравните теоретическое и экспериментальное значения lпр, сделайте выводы.
Вологодский государственный технический университет
Физические основы механики, физика колебаний и волн, термодинамика: лабораторный практикум / под ред. Богданова В.И.
98
Таблица 12.3
№ |
L , |
l , м |
N |
t , |
T , с |
T , |
T , с |
T |
i, |
lпр., |
lпр., |
lпр. |
lпр. |
|
|
|
|
|
|
i |
1 |
1i |
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
с |
|
с |
|
с |
|
м |
м |
теор. |
теор. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L = |
l = |
|
Tср.= |
∑ ( Ti )2 = |
T1ср.= |
∑ ( T1i )2 = |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
T = |
|
T1 |
|
|
|
|
|
Контрольные вопросы
1.Дайте определение колебательного процесса.
2.Какие колебания называются гармоническими?
3.Выведите дифференциальное уравнение гармонических колебаний.
4.Что называется математическим маятником?
5.Дайте определение физического маятника.
6.Что называется угловым ускорением?
7.Дайте определение момента инерции твердого тела.
8.Что такое момент силы?
9.Сформулируйте основной закон динамики вращательного движения.
10.Получите дифференциальное уравнение колебаний физического маятника.
11.Получите формулу для круговой частоты и периода колебаний физического маятника.
12.Сформулируйте теорему Штейнера. Как в данной работе она используется?
13.Что такое приведенная длина физического маятника?
14.Как найти период и частоту колебаний математического маятника?
15.Выведите формулу (12.19).
16.Что такое точка качания? Чем она замечательна?
Используемая литература
[5] §2.8, 7.1, 7.3, 19.1, 19.2; [3] §4.1, 4.2, 4.3, 27.1, 27.2; [1] §38, 39, 49, 50, 53, 54; [6] §3.3; 3.6, 3.7, 3.8; [7] §16, 18, 140, 141, 142.
Вологодский государственный технический университет
Физические основы механики, физика колебаний и волн, термодинамика: лабораторный практикум / под ред. Богданова В.И.
99
Лабораторная работа 1-13 Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний
Цель работы: ознакомление с экспериментальным методом измерения моментов инерции тел методом крутильных колебаний.
Теоретическое введение
Абсолютно твердым телом называется тело, деформациями которого в данных условиях можно пренебречь. При этом расстояния между любыми двумя точками тела остаются неизменными. При вращении тела с закрепленной осью все точки тела, двигаясь в параллельных плоскостях, описывают окружности с центрами, лежащими на одной неподвижной прямой, называемой осью вращения. При таком движении путь S, скорость v, ускорение а разных точек тела неодинаковы, поэтому для описания движения неудобно пользоваться этими понятиями. Угол поворота α любой точки тела одинаков и может быть использован как мера перемещения тела. Угловое перемещение dα – это вектор, направленный по оси вращения по правилу буравчика, модуль которого равен углу поворота тела за время dt . Угловая скорость характеризует быстроту вращения и равна производной по времени от углового перемещения:
ω = |
dα |
= α ′ . |
(13.1) |
|
|||
|
dt |
|
|
Вектор угловой скорости направлен по оси вращения так же, как и угловое перемещение. Быстроту изменения угловой скорости во времени характеризует угловое ускорение:
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
dω |
|
d |
α |
′′ |
|
|
ε = |
dt |
= |
|
2 |
. |
(13.2) |
|
dt |
= α |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Вектор углового ускорения направлен по оси вращения в ту же сторону, что и вектор угловой скорости ω , если величина угловой скорости увеличивается, и в сторону, противоположную ω , если ее модуль уменьшается.
Найдем связь между линейными и угловыми величинами. Величина линейного перемещения dS точки, вращающейся по окружности радиуса r:
dS = r × dα . |
|
(13.3) |
||
Разделив обе части уравнения (13.3) на dt , получим: |
dS |
= r |
dα |
. Так как |
dt |
|
|||
|
|
dt |
||
производная пути по времени – это величина скорости: dS = v , а ω = dα , то
dt |
dt |
v = rω . |
(13.4) |
Вологодский государственный технический университет
Физические основы механики, физика колебаний и волн, термодинамика: лабораторный практикум / под ред. Богданова В.И.
100
Теперь продифференцируем (13.4) по времени: dv = r dω , или:
|
dt |
dt |
aк |
= rε , |
(13.5) |
где aк – касательное (тангенциальное) |
ускорение, определяющее быстроту из- |
|
менения модуля скорости v : dv = aк . Основной закон динамики твердого тела
dt
аналогичен второму закону Ньютона при поступательном движении:
|
a = ∑ F |
(13.6) |
|
|
|
m |
|
|
и позволяет определить угловое ускорение |
||
|
твердого тела: угловое ускорение твердого |
||
|
тела прямо пропорционально суммарно- |
||
|
му моменту внешних сил, приложенных |
||
|
к телу, и обратно пропорционально мо- |
||
|
менту инерции тела относительно оси |
||
Рис.13.1 |
вращения |
|
|
|
∑ M |
|
|
|
(13.7) |
||
|
ε = |
. |
|
|
|
I |
|
Моментом силы относительно оси называется вектор, направленный по оси вращения и связанный с направлением силы правилом буравчика, модуль которого равен произведению силы на ее плечо: M = F × l . Плечо силы l относительно оси вращения – это кратчайшее расстояние от линии действия силы до оси вращения (рис.13.1). Момент силы можно записать в векторном виде:
M = [r × F ], |
(13.8) |
где r – радиус-вектор точки приложения силы.
Момент инерции I твердого тела является мерой инертных свойств твердого тела при вращательном движении и аналогичен массе тела во втором за-
коне Ньютона. Момент инерции I материальной точки с массой m отно-
сительно оси ОО равен произведению массы материальной точки на квадрат ее расстояния до оси:
Iмат.т. = mr 2 . |
(13.9) |
Твёрдое тело можно мысленно разбить на материальные точки и просуммировать по всем элементарным массам, тогда момент инерции твёрдого тела можно записать как
I = ∑ ( mi ri2 ). |
(13.10) |
i |
|
Вологодский государственный технический университет