Теорема Брунса. Основное дифференциальное уравнение гравиметрии.

Брунс Генрих Эрнст (1848–1919), немец. Работал в 1873-76 гг. в Пулковской Обсерватории.

Обозначим значение силы тяжести на геоиде через g₀, а нормальное значение силы тяжести на эллипсоиде относимости – через ₀. Разность называется аномалией силы тяжести.

При таком определении аномалия есть разность величин силы тяжести, относящихся к разным поверхностям, она называется смешанной. Ее величина характеризует степень расхождения уровенных поверхностей (геоид и сфероид) и, значит, дает материал, для нахождения расстояний поверхности геоида от поверхности эллипсоида.

Ясно, что этой аномалии g отвечает некий возмущающий потенциал T. Проанализируем это:

Значение потенциала Земли на геоиде: W = C – уровенная поверхность.

Нормальный эллипсоид (сфероид) мы задали так, что нормальный потенциал на его поверхности равен потенциалу геоида: U = C. Причем, сфероид выбран нами так, что он и геоид охватывают одинаковые массы, имеющие одну и ту же скорость вращения, охватывают равновеликие объемы, имеют общий центр масс и ось вращения. Различия в потенциалах двух таких "тел" в этих условиях, согласно теореме Стокса, может быть обусловлено только различиями обеих поверхностей – причем они (различия) малые.

Итак, пусть расстояние между геоидом и эллипсоидом относимости = , а потенциалы различаются на величину T: W – U = T – возмущающий потенциал.

Учитывая малость , можно записать ( < 100 м):

(не ₀, а  – как функция).

Это есть уравнение Брунса:

.

Итак, – аномалия силы тяжести. Хотя относятся к разным поверхностям, их нормали различаются не сильней, чем на 1′. Можем записать:

. 11

Здесь  – поверхность геоида.

Распишем теперь по формуле Тейлора потенциал собственно W, выразив (соотнеся его) его для поверхности геоида :

12

Здесь  расстояние между сфероидом и геоидом (см. теорему Брунса). Учитывая малость  по сравнению с (a – b) и, тем более, с а, можно пренебречь сжатием сфероида и центробежной силой и во втором слагаемом представить потенциал как для шара: . Тогда n и r совпадают по направлению и имеем:

.

Учитывая, что имеем дело с Земным "шаром" радиуса R:

.

И тогда, подставляя это в 12, имеем:

.

Возвращаясь к "аномалии", имеем:

Подставляя , учитывая и опуская значок  (по близости поверхностей сфероида и геоида), получаем:

13

Это – основное дифференциальное уравнение гравиметрии, или граничное условие для T: По результатам определений g на поверхности Земли получаем информацию о g (распределение по поверхности). Решая 13, определяем распределение T по Земле, затем по уравнению Брунса: определяем превышения .

В 13 первый член (член Брунса) учитывает тот факт, что g₀ и ₀ относятся к разным поверхностям; второй – сила, развиваемая возмущающим потенциалом. Фактически, это есть схема решения основной проблемы гравиметрии – определение фигуры Земли по экспериментальным данным распределения g на физической поверхности Земли:

.