Проблема Стокса

Джордж Габриэль Стокс, (1819–1893), Англия

В 1849 г. Д. Г. Стокс опубликовал работы, в которых, во-первых, доказал, что изменение силы тяжести на земной поверхности и зависимость его от сжатия эллипсоида не обязательно связаны с гипотезой гидростатического равновесия Земли; во-вторых, поставил и решил (в частном случае) задачу определения внешнего потенциала силы тяжести при данной внешней поверхности и известных на ней значениях силы тяжести и потенциала.

Стоксом была решена также обратная задача – задача построения внешней уровенной поверхности (геоида) относительно уровенной поверхности нормального потенциала – по значениям силы тяжести на геоиде. (И именно эта задача – схема Стокса – нас интересует).

Рассмотрение схемы Стокса начнем с теоремы Стокса:

Если тело известной массы M равномерно вращается около неизменной оси (со скоростью ) и если задана уровенная поверхность S потенциала силы тяжести, целиком охватывающая массу, то потенциальная функция W и ее производные будут однозначно определены на поверхности S и во всем внешнем пространстве (независимо от распределения массы M).

(В теории потенциала у Вас была эта теорема, хотя и без вращения).

Доказательство: (Грушинский, с. 201 - …)

Допустим, что существуют два различных значения W₁ и W₂ на поверхности S (и во внешнем пространстве), отвечающие двум разным распределениям массы M внутри S. Итак, на поверхности S: и .

Учитывая, что вращательная часть потенциала не зависит от распределения масс внутри S, имеем:

.

T – гармоническая функция, т.е.: .¹

Воспользуемся преобразованием Грина в виде:

, 9

записанным для случая: где  – пространство между уровенной поверхностью S и поверхностью  сферы, целиком охватывающей S. Поверхность (Sограничивает это пространство.

Учитывая, что в , – видим, что второй интеграл в 9 = 0. Тогда:

.

(Знак минус – потому, что внешняя нормаль к S является внутренней к 

Оценим первый интеграл. Исходя из того, что: , можем с запасом оценить:

и тогда: .

Теперь: .

Но на поверхности S имеем .

Тогда: .

Согласно формуле Грина:

,

и, значит, интеграл I = 0:

.

Значит, и в каждой точке внешнего пространства  имеем: .

Но отсюда в силу определения T имеем:

10

(Силовая часть теоремы доказана).

Из 10 следует: V₁–V₂ = const во всем внешнем пространстве.

При , значит , т.е. V₁ = V₂ – во всем , и, следовательно, на поверхности S. Окончательно W₁ = W₂. (доказана и потенциальная часть теоремы).

Т.о. теорема Стокса доказана.

Постановка и решение проблемы Стокса устанавливают место гравиметрии в проблеме изучения фигуры Земли. Учитывая, что к моменту становления гравиметрии существенные успехи здесь были достигнуты высшей геодезией, уже со времени Ньютона стало ясно, что оба направления должны сосуществовать и, действительно, принципиально дополняют друг друга. Вспомним, что именно различия в ходе часов на разных широтах дали толчок к изучению сжатия Земли.

Теорема Стокса устанавливает принципиальную возможность определения потенциала силы тяжести и самой силы тяжести, если известна форма уровенной поверхности и общая масса тела (планеты). Однако конкретно задача определения W решена только для трех опорных (довольно важных в планетологии) форм уровенной поверхности: для сферы, сфероида и трехосного эллипсоида.

Конкретно для Земли решение проблемы Стокса связано с двумя затруднениями:

Первое: – вне поверхности S не должно находиться никаких масс (даже атмосфера – тоже масса, которую, в принципе, надо иметь в виду). Поэтому подход Стокса нельзя применять к геоиду, т.к. вне его есть массы – материки.

Второе: – в том, что наша задача – определение фигуры геоида по результатам определения силы тяжести, т.е. решение обратной задачи теории потенциала. И как обратная задача – она неоднозначна: т.е. одно и то же распределение силы тяжести может соответствовать различным поверхностям S. Т.о. в общем случае задача неразрешима.

Однако, учитывая, что среди названных фигур – сфера, сфероид, трехосный эллипсоид – нам для фигуры Земли интересен сфероид, то исходя именно из сфероидальности поверхности S и подбирая его сжатие, проблему Стокса сводят к менее многозначной.

Однако, решив задачу определения W для сфероида, схема Стокса не отвечает на вопрос о форме геоида – и это выражается, в первую очередь, в отличиях реального поля g от "сфероидального". Различия между теоретическими и реальными значениями g – малые величины. Они называются аномалиями силы тяжести и являются, в рамках схемы Стокса, мерой отступления геоида от сфероида. И именно по этим аномалиям, в гравиметрической схеме, оказывается возможным определить отклонения геоида – фигуры аналитически явно не описываемой – от поверхности сфероида. Решение этой задачи тоже было дано Стоксом.

Заметим, что распределение силы тяжести для сфероида, данное Стоксом, очень близко к распределению (практически совпадает) уравнения Клеро, а также является хорошим приближением к распределению силы тяжести для геоида.