Редукция в свободном воздухе

Смысл редукции состоит в том, чтобы произвести приведение наблюденных значений силы тяжести в точках A_i(H ≠ 0) к поверхности начала отсчета – точкеB_i (H = 0). При этом не принимается во внимание роль и влияние масс (если они есть) между уровнямиA_iиB_i.

Это редуцирование, зная градиент , произвести очень просто (было бы). Вся операция обеспечивает опускание (к примеру) значенияgизA_iвB_iс одновременным опусканием на столько же и всех масс (и их влияния наg) под уровеньB_i. В принципе, это и есть полная регуляризация, хотя, возможно, на антиподной точке Земли все массы настолько же вылезут наружу: но это далеко и мало влияет на наш анализ.

Учитывая принципиальный характер этой редукции, рассмотрим ее поподробнее, учтя даже эллипсоидальность Земли.

Так, для шаровой Земли: (H– высота ≡z,R– радиус Земли)

. Но– нормальное поле (для шара).

Тогда

–вертикальный градиентg.

Откуда , и для "высотного" приращенияgимеем:

.

Или, для   = 979773 мГал,R = 6371087 м в численном виде имеем:

g_H – g₀ = 0,3086 · H(мГал), гдеH– в метрах.

Учтем сфероидальность (эллипсоидальность) Земли. Уравнение Пуассона (случай произвольно выбранной точки наблюдения, т.е., в частности, и внутри объекта – эллипсоида):

 – плотность Земли.

Для нормального поля на его поверхности можно записать:

.

Уравнение Пуассона станет:

.

Перейдя к нормальному полю вне эллипсоида ( = 0) и выбрав оси координат в плоскостях меридиана и первого вертикала (меридианной), получаем:

,20

где M– радиус кривизны меридианного, аN– первовертикального сечений.

Из дифференциальной геометрии имеем:

, (– широта "места").

А радиус кривизны Nопределится как:

, где– радиус кривизны параллели (сечения, отвечающего широтеи параллельного экватору).

Тогда

.

Подставляем эти выражения для MиNи, сохраняя величины порядка сжатия, имеем:

.

Подставив ,a,e(числа), получим выражения для «поправки за свободный воздух»:

(мГал).

H– в метрах. Эллипсоидальность учтена здесь учетом широты.

Редукция в свободном воздухе, итак, учитывает изменение нормальной силы тяжести с высотой. Приближенно она такова же и для реального поля.

Реально изменение gс высотой равно приблизительно 1 мГал (1 мГл) на 3 м высоты. Отсюда вытекают требования к точности определения высот при гравитационной съемке.

Рабочая точность для gне ниже ± 0,01 мГл. Для того, чтобы ошибки определения высот не искажали смысла гравиметрических измерений, требуется определять высоты с точностью ± 0,03 м (либом). Такая точность, бесспорно, обременительна, особенно при массовых гравиметрических определениях.

Поправка за рельеф местности

Это вторая обязательная (при проведении работ по схеме Стокса) поправка по исправлению гравиметрических данных.

Совместно выполненные – редукция в свободном воздухе с добавлением поправки за рельеф местности, – носят названиередукции Фая, илиГельмерта.

Поправка за рельеф местности имеет целью учесть влияние притяжения всех форм внешнего рельефа и привести значение силы тяжести в данной точке к такому, которое было бы, если бы под точкой располагался (в ближайшей ее окрестности) ровный слой масс, без выступов и впадин.

Поправка за рельеф местности всегда увеличивает наблюденное значение силы тяжести независимо от того, находятся ли вблизи исследуемой точки возвышенности или, наоборот, впадины. Как наличие избыточных масс "сверху", так и недостаток их "снизу" в равной мере уменьшают силу gотносительно того значения ее, которое должна бы иметь эта величина в случае равномерного заполнения всей области массами, "снятыми" сверху и "заполнившими" углубления.

Введение поправки за рельеф обязательно при любых редукциях, поскольку уж слишком ее смысл очевиден.

Замечание.Влияние рельефа, казалось бы, распространяется и на форму геоида. Однако, будучиблизкик измерителю, элементы рельефа могут сильно влиять на результаты данных поg, но до того, чтобы сказаться на форме геоида, это влияние, за дальностью, не доходит на деле. Поэтому и требуется коррекция результатов измерений именно на «начальном этапе».

Для учета влияния рельефа применяют способы:

1. разбиение местности на участки-призмы, усредненные по ряду параметров, – и учет влияния их по-отдельности;

2. представление местности в виде наклонной плоскости и учет влияния такого клина;

3. введение поправки по характерным точкам.

Охарактеризуем эти способы.

I. «Разобьем» все окружающее пространство на цилиндрические пояса и рассмотрим часть одного из них – призмуabcdefig. Оценим притяжение, создаваемое этой призмой в точкеO. Высота призмы –H, внутренний радиус –a₁, внешний –a₂. Для того, чтобы определить притяжение от кольца в целом, надо сосчитать разность действия цилиндров радиусовa₂иa₁. Не вдаваясь в геометрию, имеем (см. Груш., Б., с. 253):

Если точка O(точка наблюдения) лежит на верхней грани призмы, тоz₂ = 0, и имеем

.

Если наша призма есть 1/nчасть всего кольца, то делим наn:

21

Здесь z₁, очевидно, глубина, до которой "учитывается" рельеф.

Рельеф в целом учитывается так:

а) разбиваем местность по топографической карте на криволинейные (цилиндрические) призмы по оптимальной схеме. По формуле 21рассчитываем их притяжение_ig;

б) полученные _igскладываем.

Обычно используются палетки – их накладывают на гипсометрическую карту центром в исследуемую точку. Для каждой трапеции оценивается средняя высота места, т.е. толщина (z₂ – z₁) и высота точки над призмой –z.

Замечание:Если высота точки наблюденияz₁≠ 0 иz₂≠ 0, то21есть:

.

Полная поправка по палетке:

.

Влияние рельефа убывает обратно пропорционально квадрату расстояния, так что далекие формы рельефа учитывать уже не надо. Да и практически вводить их надо только для сильно всхолмленной и горной местности.

II. Второй способ основан на применении формулы:, дающей вертикальную компоненту притяжения масс, заключенных в "цилиндрическом" клине с горизонтальной нижней гранью. Такой расчет выгоден для:

1. ровной, но наклоненной в одну сторону местности,

2. в случае двустороннего ската

3. в случае седловины и ряда других рельефов.

Практически, и здесь уже разработаны системы таблиц, номограмм.

III. Поправки по характерным точкам вводятся выбором на местности наиболее значимых форм рельефа, оценкой их влияния и последующей интерполяционной схемой учета всего промежуточного рельефа (по линейному или гиперболическому закону, например). Здесь опять активно пользуются таблицами и номограммами.

Остальные «редукции», которые применяются при гравиметрических работах, не имеют применения при анализе фигуры Земли в общем случае; больше применяются, например, в разведке. Но мы, однако, кратко рассмотрим их с целью одновременной физической интерпретации их смысла и места в гравиметрии.