48.
Вычисление действующих (или средних) значений токов и напряжений за период T на элементах схемы связано с вычислением определенных интегралов, подынтегральные функции которых заданы набором дискретных значений (таблицей). В этих случаях интегралы находят приближенными методами. На практике часто используют формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона.
Для функции y(t), заданной таблично в периоде T в k = 2m + 1 точках
t1 = 0 , t2 = h , …, tk =T |
с шагом h =T / 2m , формула Симпсона имеет вид |
|
|||||||||||||
|
T |
|
|
h |
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|||
S = |
∫ |
y(t)dt ≈ |
|
y |
+ y |
2m+1 |
+2 |
(2 y |
2i |
+ y |
2i+1 |
) |
(39) |
||
|
|||||||||||||||
|
|
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
[Содержание]
2.4 Определение времени переходного процесса
Одной из задач анализа электронной схемы может быть расчёт времени переходного процесса, т.е. времени, в течение которого схема входит в установившийся режим при разовом или периодическом возмущении входным сигналом.
Под установившимся процессом понимается такое состояние схемы, при котором токи и напряжения в её ветвях либо неизменны, либо меняются периодически. Любое другое состояние схемы называется переходным. Если входное (возмущающее) воздействие исследуемой схемы периодическое (с периодом T = 2π
ω0 ), то установившийся процесс будет характеризоваться периодиче-
ским изменением токов и напряжений. Условие периодичности записывается так:
X(t) = X(t +T ) |
(40) |
где Х — вектор переменных состояния (или любых других величин).
Т.о., определение времени переходного процесса сводится к нахождению минимального значения времени t, которое бы удовлетворяло условию (40).
© А. Кудинов, 2006, ТГУ, каф.ПЭ
49.
Это и будет время переходного процесса. Имея массив вычисленных значений Хi в заданные моменты времени ti, искать время переходного процесса будем по схеме:
Шаг 1. Зададимся погрешностью ε, положим i = 0. Шаг 2. Положим j = i.
Шаг 3. Пока t j < ti +T , увеличиваем j на единицу.
Шаг 4. Если X j −Xi ≤ε , закончить (ti — искомое время).
Шаг 5. Положим i =i +1 и перейдём к шагу 2.
Некоторое неудобство этой схемы заключается в том, что период Т может оказаться не кратным шагу интегрирования (особенно при автоматическом его выборе), поэтому добиться равенства t j = ti +T не удаётся. В этих случаях, в
программной реализации описанной выше схемы необходимо предусмотреть процедуру интерполяции X j пред его сравнением с Xi (между шагом 3 и 4).
[Содержание]
2.5 Гармонический анализ сигналов
Известно, что периодическую функцию f (t) с периодом Т точно или приближённо можно представить тригонометрической суммой
|
a0 |
n |
|
|
sn (t) = |
+ ∑[ak cos kωt +bk sin kωt] |
(41) |
||
|
||||
2 |
k =1 |
|
||
|
|
|
||
где ω = 2π
T . Приближение sn (t) к f (t) является наилучшим, если за коэффи-
циенты ak и bk (k = 0,1, 2...) |
выбраны коэффициенты Фурье данной функции: |
||||||
|
|
|
2 t0 +T |
|
|||
ak = |
|
T |
t∫ |
f (t)cos kωt dt |
|||
|
|
|
|
|
0 |
(42) |
|
|
|
|
2 t0 +T |
||||
b |
= |
|
f (t)sin kωt dt |
||||
T |
|
t∫ |
|||||
k |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
© А. Кудинов, 2006, ТГУ, каф.ПЭ
50.
где в качестве t0 может приниматься любое значение. Коэффициент a20 в фор-
муле (41) представляет собой постоянную составляющую функции f (t) , а ка-
ждое k-е слагаемое под суммой называется k-ой гармоникой. Т.о., амплитуда k- ой гармоники может быть рассчитана по формуле:
A = |
a |
k |
2 +b 2 |
(43) |
k |
|
k |
|
Под гармоническим анализом понимается нахождение амплитуд всех значимых гармоник функции f (t) . Эта задача сводится к вычислению интегра-
лов (42) при k = 0, 1, 2 и т.д. Имея массивы из N+1 значений времени ti и соот-
ak = 0, |
|
|
i = 0 |
|
|
|
|
|
|
||
bk = 0 |
|
|
пока i < N |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h = ti+1 −ti |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
ak = ak +Ui cos kωti h |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
bk = bk +Ui sin kωti h |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
ak = ak |
|
2 |
|
|
|
|
|
i = i + 1 |
|
|
|
T |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
i |
|
bk = bk |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Рис. 18. Схема вычисления коэффициентов Фурье |
|
|
|
|
|||||||
ветствующих им значений исследуемого сигнала Ui (i = 0, 1, …,N), рассчитан-
ные для ровно одного периода Т (tN = t0 +T ), вычислять интегралы (42) для заданного номера гармоники k можно по следующей схеме: (рисунок 18.)
При ограниченном количестве N таблично заданных точек, погрешность определения амплитуд гармоник по приведённым выше формулам повышается с ростом номера гармоники k, а при k > N
2 расчёт вообще не имеет смысла.
[Содержание]
© А. Кудинов, 2006, ТГУ, каф.ПЭ