Мат.мет.АРЭС МАРЭС / Методические указания к выполнению лабораторных работ / МАРЭС-Лаб_Раб-ЗО
.pdf
Лабораторная работа №3 – Решение систем дифференциальных уравнений.
Цель работы: получение практических навыков составления и численного решения на ЭВМ систем дифференциальных уравнений.
Краткие теоретические сведения
При исследовании переходных процессов в электронных цепях часто приходится решать системы дифференциальных уравнений (СДУ) первого порядка. Примером такой системы является уравнение состояния в нормальной форме. Численное решение СДУ возможно выполнить на ЭВМ, если использовать какую-либо разностную формулу численного интегрирования. Среди них: явная и неявная формулы Эйлера, формула трапеций, формулы Рунге-Кутта и др. Применение численного интегрирования продемонстрируем на примере решения следующей задачи.
Задача. Построить графики изменения во времени напряжения UC конденсатора С, тока IL катушки L и выходного напряжения U2 на резисторе R2 после размыкания ключа SA в схеме, представленной на рисунке 1.
Рис. 1. Схема для анализа переходного процесса
Решение.
Замкнутое состояние ключа определяет начальные условия в анализируемой цепи. Предполагая, что ключ находился в замкнутом состоянии достаточно долго (достаточно для того, чтобы напряжения и токи в цепи установились неизменными), найдём начальное напряжение UC0 конденсатора и начальный ток IL0 катушки:
U C0 =0
I L0 = |
E |
(1) |
R1 |
|
|
|
|
В первый момент после размыкания ключа, согласно законам коммутации, эти величины не могут измениться, поэтому будут определять начальную точку переходного процесса.
После размыкания ключа (разомкнутый ключ можно просто отбросить), по законам Кирхгофа, можем записать выражения для тока IC конденсатора и напряжения UL на катушке:
IC = I L + E −RUC
2
U L = E −U C − I LR1
Откуда, с учётом компонентных уравнений конденсатора и катушки:
IC =C dUC dt
U L = L dI L dt
найдём уравнение состояния исследуемой цепи:
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
dU C = |
I L + |
E −U C |
|
||||||||
|
|
||||||||||
|
dt |
|
C |
|
|
R2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dI L = |
1 |
(E −U |
C |
− I |
R ) |
||||||
|
|||||||||||
|
|
L |
|
|
L 1 |
|
|||||
dt |
|
|
|
|
|
|
|||||
(2)
(3)
(4)
Уравнение (4) с начальными условиями (1) представляют математическое описание исследуемой цепи.
Численное решение СДУ (4) будем производить по так называемой явной формуле Эйлера, согласно которой дифференциальное уравнение вида
dxdt = F(x,t) ,
заменятся разностным уравнением
xn+1 |
− xn |
≈ F(xn ,tn ) , |
(5) |
tn+1 |
|
||
−tn |
|
||
где n — номер расчётной точки.
Величину tn+1 −tn будем считать постоянной: tn+1 −tn = h
h — шаг интегрирования. Тогда уравнение (5) принимает вид |
|
xn+1 − xn ≈ F(xn ,tn ) , |
|
h |
|
откуда и получаем явную рекуррентную формулу Эйлера: |
|
xn+1 ≈ xn +hF(xn,tn ) . |
(6) |
Вначале расчёта полагают n = 0 ; t0 — начальный момент времени, x0 — начальное условие.
Рассчитывают
x1 = x0 +hF(x0,t0 ) , t1 =t0 +h .
Полагают n =1 и рассчитывают
x2 = x1 +hF(x1,t1) , t2 =t1 +h .
И далее, увеличивая n на единицу, последовательно получают значения решения x, которые можно изобразить на графике в виде последовательности точек (рисунок 2).
x
x0
|
|
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
t |
||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
t0 |
t1 |
t2 |
t3 |
t4 |
||
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2. Графическое представление решения
Соединив нанесённые точки плавной кривой, можно построить примерный график решения.
Применительно к поставленной задаче, вычислительный алгоритм расчёта переходного процесса может быть представлен следующей блок-схемой (БСА) (рисунок 3).
|
|
|
|
|
Начало |
|
|
|
|
|||
|
1 |
E, C, L, R1, |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
R2, Tmax |
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
UC0 |
= 0; t = 0; |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
IL0 = E/R1 |
|
|
|
|
|
||||
|
3 |
|
|
2π |
LC |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
h = |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
|
||
|
4 |
U2 = E – UC0 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
5 |
t, UC0, IL0, U2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
6 |
|
|
|
|
+ h |
|
|
E −U C0 |
|
|
||
U C1 =U C0 |
+ |
, |
||||||||||
I L0 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
C |
|
|
R2 |
|
|
||
I |
L1 |
= I |
L0 |
+ h (E −U |
C0 |
− I |
R |
) |
|
|||
|
|
|
L |
|
|
L0 1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
7 |
UC0 |
= UC1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
IL0 = IL1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
t = t + h |
|
|
|
|
|
||||
Нет |
8 |
|
t > Tmax |
||
|
||
|
Да |
|
|
Конец |
Ввод исходных данных; Tmax — время интегрирования
Расчёт начальных условий; t — текущее время
Примерный выбор шага интегрирования;
Расчёт выходной величины
Вывод на печать данных для графика
Выполнить один шаг численного интегрирования уравнений (4)
Рекуррентная замена переменных, накопление времени
Проверка на окончание цикла
Рис. 3. Блок-схема алгоритма программы расчёта переходного процесса
Недостатком предложенного алгоритма является весьма большое количество выводимой на экран числовой информации: каждый шаг численного интегрирования сопровождается выводом на печать соответствующих выходных данных. Это может быть удобно, если данные будут сохранены в файл для последующей обработки другими программами. Однако вывод на экран монитора такого количества данных неудобен: после заполнения экрана последующие данные в результате скроллинга строк уничтожают предыдущие. Для облегчения работы рекомендуется выводить на экран данные после каждых N шагов (N = 2,3,…) интегрирования. Для этого достаточно модифицировать блок №5 вывода на печать БСА на рисунке 3. На рисунке 4 представлен вариант модификации.
5 |
|
count=0 |
Нет |
|
|
Да |
|
t, UC0, IL0, U2 |
count = count – 1 |
|
|
count = N – 1 |
|
Рис. 4. Модификация блока вывода на печать
При модификации в начале программы (например, в блоке 2) инициализируются две дополнительные целые переменные: переменная-счётчик count =0 и переменная N — период вывода точек (например N =10 ).
Порядок выполнения работы
1. Написать программу №1 на языке «Бейсик» или «Паскаль», реализующую БСА на рисунке 3. Программа должна запрашивать ввод исходных данных с клавиатуры и выводить результаты расчёта на экран. Отладить программу №1.
2.Для исходных данных, выбираемых из таблицы 1, произвести расчёт переходного процесса. Записать рассчитанные данные с экрана для помещения в отчёт и построения графика.
3.Построить график переходного процесса и представить преподавателю для контроля.
4.Получить математическое описание (математическую модель) цепи, выбранной в таблице 2.
5.Написать программу №2 для расчёта переходного процесса в новой цепи
(модифицировав программу №1). Отладить программу №2.
6.Произвести расчёт переходного процесса в течение одной секунды после момента коммутации. Записать рассчитанные данные с экрана для помещения в отчёт и построения графика.
7.Построить график переходного процесса и представить преподавателю для контроля.
8.Оформить отчёт о проделанной работе и сдать преподавателю.
Таблица 1 — Исходные данные для программы №1
№ вари- |
E |
C |
L |
R1 |
R2 |
Tmax |
анта |
|
|
|
|
|
|
1 |
10 |
0,01 |
1 |
0,5 |
50 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
10 |
0,01 |
1 |
0,5 |
25 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
10 |
0,01 |
1 |
1 |
50 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
10 |
0,1 |
0,1 |
0,5 |
50 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
10 |
0,1 |
0,1 |
0,2 |
50 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
10 |
0,02 |
0,5 |
1 |
20 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
7 |
10 |
0,01 |
1 |
1 |
10 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
8 |
25 |
0,1 |
2 |
0,5 |
5 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 2 — Схема для анализа программой №2
№ варианта |
Схема для анализа |
1
2
3
4
5
Исходные данные
Ключ SA: размыкается
E = 10
C = 0,1
L = 0,1
R1 = 0,5
R2 = 2
Ключ SA: размыкается
E = 10
C = 0,1
L = 0,1
R1 = 0,6
Ключ SA: замыкается
E = 10
C = 0,1
L = 0,1
R1 = 0,6
Ключ SA: замыкается
E = 10
C = 0,5
L = 0,1
R1 = 0,5
R2 = 2
Ключ SA: замыкается
E = 15
C = 0,1
L = 0,2
R1 = 1
R2 = 0,5
№ варианта |
Схема для анализа |
Исходные данные |
|
|
Ключ SA: замыкается |
|
|
|
|
|
E = 10 |
6 |
|
C = 0,1 |
|
L = 0,2 |
|
|
|
|
|
|
R1 = 1 |
|
|
R2 = 0,25 |
|
|
Ключ SA: замыкается |
|
|
E = 10 |
7 |
|
C = 0,1 |
|
L = 0,2 |
|
|
|
|
|
|
R1 = 1 |
|
|
R2 = 2 |
|
|
Ключ SA: замыкается |
|
|
E = 10 |
8 |
|
C = 0,2 |
|
L = 0,1 |
|
|
|
|
|
|
R1 = 9 |
|
|
R2 = 1 |
|
|
|
Содержание отчёта о лабораторной работе
Титульный лист (с указанием номера варианта, списка исполнителей, номера группы).
Первая анализируемая цепь (рис. 1), задача анализа.
БСА программы №1.
Программа №1.
Результаты работы программы №1 и графики переходного процесса.
Вторая анализируемая цепь (из табл. 2).
Получение математического описания второй цепи.
Программа №2.
Результаты работы программы №2 и графики переходного процесса.
Вопросы для самостоятельного изучения
1.Метод переменных состояния получения математической модели цепи.
2.Классификация и характеристика методов численного интегрирования.
3.Оценка погрешности численного интегрирования и выбор шага интегрирования.
4.Построение блок-схем алгоритмов программ.
Литература
1.Кудинов А.К. Методы анализа и расчёт электронных схем на ЭВМ : учеб. пособие / А.К. Кудинов.— Тольятти: ТГУ, 2007.- 174 с.
2.ГОСТ 19.701-90 (ИСО 5807–85) / Единая система программной документации. Схемы алгоритмов, программ, данных и систем. Условные обозначения и правила выполнения. — Москва: Издание официальное ГК СССР по управлению качеством продукции и стандартам. Дата введения 01.01.92