Лабораторный практикум / Лаборатория радиофизики / - ПМФ - / 2 - Моделирование и исследование линейных систем / 2 - Описание
.pdf
Рис. 4. Блок-схема лабораторной установки.
Лабораторная установка состоит из:
1.низкочастотного генератора (синусоидальных и прямоугольных импульсов);
2.осциллографа;
3.макета (RC-цепочки, спаянной самостоятельно);
4.компьютера с платой для сбора данных L-Card или цифрового вольтметра.
На Рис. 5 схематически изображен макет RC-цепочки. В зависимости от того, с какого элемента цепи снимается сигнал, эту цепочку можно рассматривать как интегрирующую или дифференцирующую. x(t ) – входной
сигнал, y(t ) – выходной сигнал.
Рис. 5. Макет RC-цепочки.
Обработка результатов
В этом разделе приводится полезная информация, которая может пригодиться при выполнении обработки экспериментальных данных в MATLAB и подготовки отчёта.
11
В лабораторной работе предстоит сравнить результаты эксперимента с теорией. Для примера получим дифференциальное уравнение для дифференцирующей цепочки и коэффициент передачи. По законам Кирхгофа ток через конденсатор равен току в резисторе IC = I R = I , а входное
напряжение |
равно сумме напряжений |
на конденсаторе |
и на |
резисторе |
||||||||||||||
x(t ) = U c + U R . |
Электрический ток |
по |
определению |
I = |
dq |
, |
а |
заряд |
на |
|||||||||
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
напряжение q = CU c . |
dt |
|
|
|
|||
конденсаторе выражается |
через |
|
Напряжение |
на |
||||||||||||||
резисторе |
по |
закону |
|
Ома |
|
yдифф(t ) = U R = IR . |
Чтобы |
|
составить |
|||||||||
дифференциальное уравнение, необходимо выразить |
U c |
и I |
через x(t ) |
и |
||||||||||||||
yдифф(t ). Получим |
|
yдифф |
|
= C |
|
dU |
c |
|
и U c (t ) = x(t ) − yдифф(t ) . Подставив U c под |
|||||||||
|
R |
|
dt |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
знак дифференцирования и перенеся слагаемые с yдифф (t ) |
в левую часть |
|||||||||||
получим дифференциальное уравнение: |
|
|
|
|
||||||||
|
dyдифф(t ) |
+ |
1 |
y |
|
(t ) = |
dx(t ) |
τ = RC |
(24) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
dt |
|
τ |
дифф |
dt |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
Чтобы получить комплексный коэффициент передачи представим, что
входной сигнал зависит от времени по гармоническому закону x(t ) = Xe |
iωt |
, |
||||||
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
тогда выходной |
сигнал |
также |
будет гармоническим |
с той же |
частотой |
|||
yдифф(t ) = Yдиффe |
iωt |
– |
это |
свойство линейных |
систем. |
Оператор |
||
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
дифференцирования будет применён только к экспоненте, так как
комплексные амплитуды X |
и Yдифф от времени не зависят. |
& |
& |
Дифференцирование экспоненты даст множитель iω , а сами экспоненты после дифференцирования можно будет сократить, так как они не равны нулю при любом ω . В результате вместо дифференциального уравнения получиться алгебраическое:
& |
& |
|
|
|
1 |
(iω + ω0 )Yдифф = iωX |
ω0 |
= |
τ |
||
|
|
|
|
||
Комплексный коэффициент передачи по определению:
|
& |
|
iω |
K (iω ) = |
Yдифф |
= |
|
& |
|
||
& |
|
|
|
|
X |
|
iω + ω0 |
Чтобы найти АЧХ, надо выделить мнимую и вещественную часть в (26)
& |
|
ω |
|
K (iω ) = |
ω 2 |
+ ω02 |
(− ω + iω0 ) |
|
|
(25)
(26)
(27)
ивычислить модуль комплексного коэффициента передачи. ФЧХ находится как аргумент коэффициента передачи (минус арктангенс отношения мнимой
ивещественной части):
12
|
|
ω ω 2 + ω02 |
|
|
ω |
|
|
||
|
& |
|
|
|
|
|
|||
K (ω ) = |
K (iω ) |
= |
ω 2 + ω02 |
= |
|
|
|
|
|
ω 2 + ω02 |
(28) |
||||||||
|
|
|
|
|
|||||
& |
|
ω0 |
|
|
|
|
|||
ϕ (ω ) = arg(K (iω )) = arctg |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
ω |
|
|
|
|
||
Графики в логарифмическом масштабе
Для построения частотных характеристик в широком диапазоне частот может быть использована команда semilogx, в результате ось частот будет в логарифмическом масштабе. Вместе с этой командой обычно используется logspace, создающая вектор, элементы которого возрастают экспоненциально (чтобы точки на графике в логарифмическом масштабе были на равном расстоянии друг от друга).
Выделение огибающей сигнала
При определении АЧХ с помощью частотно-модулированного сигнала, получается сигнал, амплитуда которого меняется со временем и по форме повторяет АЧХ. Требуется из экспериментальных данных получить зависимость амплитуды от времени, и, зная как с течением времени изменялась частота, построить график АЧХ. Представим сигнал, у которого амплитуда A(t ) меняется намного медленнее, чем сам сигнал.
x(t ) = A(t )sin(ωt )
возведём его в квадрат и применим известную формулу для понижения степени синуса:
x2 (t ) = A2 (t ) − A2 (t ) cos(2ωt )
2 2
Возведённый в квадрат сигнал состоит из медленно меняющегося (первое слагаемое) и быстроменяющегося (второе). От второго слагаемого можно избавиться с помощью фильтра низких частот (подобрав соответствующие характеристики фильтра), останется только половина квадрата амплитуды. В MATLAB сигнал хранится в оцифрованном виде, и применять к нему придётся цифровой фильтр. Фильтр задаётся с помощью двух векторов с коэффициентами. Как один из вариантов, для создания фильтров в MATLAB используется команда butter, возвращающая два вектора с коэффициентами. Первый аргумент команды – это порядок фильтра. Второй аргумент – частота отсечки в относительных величинах (1 соответствует частоте Найквиста – половине частоты квантования). Чем выше порядок фильтра, тем быстрее убывает его АЧХ и тем больше фазовый сдвиг. В данном случае будет достаточным порядок равный 3. Второй
параметр должен подбираться опытным путём, для его оценки f0 |
= |
f min |
, где |
|
|||
|
|
f s |
|
f0 – частота отсечки фильтра в относительных единицах, f min |
– нижняя |
||
граница диапазона частот частотно-модулированного сигнала в герцах, f s –
13
частота квантования в герцах. Для выполнения фильтрации сигнала используется команда filter. Первые два аргумента команды – это вектора с коэффициентами, полученные с помощью команды butter (или другой аналогичной), третий аргумент – вектор с отсчётами сигнала. Ниже приведён пример выделения огибающей сигнала.
N |
= 5000; |
% количество отсчётов |
fmin = 1e3; |
% минимальная частота |
|
fs = 100e3; |
% частота квантования |
|
t |
= (0:N-1)/fs; |
% время |
% |
амплитудно модулированный сигнал |
|
x |
= (1+0.25*sin(2*pi*0.1*fmin*t)).*sin(2*pi*fmin*t); |
|
f0 = fmin/fs; |
% частота отсечки фильтра |
|
[b,a]=butter(3,f0); |
% коэффициенты фильтра |
|
A = sqrt(2*filter(b,a,x.^2)); % выделяем огибающую plot(t,x,t,A)
В результате в одном окне будут построены график сигнала и его амплитуды
(рис. 5).
Рис. 5.
Создание частотно-модулированного сигнала
Для создания сигнала с переменной частотой используется команда chirp. Первый аргумент команды – вектор, задающий время, второй аргумент – начальная частота, третий и четвёртый аргументы – момент времени и частота в этот момент. Есть ещё пятый аргумент, который является необязательным, задающий закон изменения частоты, если его не указывать, частота меняется по линейному закону.
Чтобы воспроизвести сигнал с помощью звуковой карты используется команда wavplay. Первый аргумент – вектор с отсчётами сигнала, второй – частота квантования.
Необходимо быть внимательным при создании сигнала и выборе частоты квантования. Необходимо выполнить следующие требования:
1.Частота квантования при создании сигнала с помощью chirp и при воспроизведении с помощью wavplay должна быть одна и та же.
2.Частота квантования должна удовлетворять условию теоремы Котельникова.
14
3. Частота квантования должна поддерживаться звуковой картой.
Оценка параметров методом наименьших квадратов
В MATLAB есть возможность выполнять аппроксимацию экспериментальных данных теоретической кривой, подбирая параметры по методу наименьших квадратов. Для этого используется команда fit. Первые два аргумента – это вектора столбцы с экспериментальными данными (время и сигнал), третий аргумент – название теоретической модели. В этой работе используется модель 'exp1' – экспоненциальная функция с двумя параметрами. Функция fit возвращает объект, среди свойств которого есть коэффициенты модели. Этот же объект можно использовать как функцию.
% экспериментальные данные
t = [0; 4e-4; 8e-4; 12e-4; 16e-4]; x = [1; 0.67; 0.45; 0.3; 0.2];
%аппроксимация экспонентой по методу наименьших квадратов f = fit(t,x,'exp1')
%экспериментальные данные (точками) и кривую
t1 = linspace(0,16e-4,100); plot(t,x,'ro',t1,f(t1),'b')
tau = -1/f.b % находим время tau
15
Задания
Для каждого типа фильтра (интегрирующей и дифференцирующей цепочек)
1.Написать выражения для комплексного коэффициента передачи. Построить графики АЧХ и ФЧХ (графики удобно строить в логарифмическом масштабе по частоте).
2.Подобрать ёмкость и сопротивление такими, чтобы получить фильтр с заданной преподавателем граничной частотой. Значения R выбираются из диапазона 10 - 50 кОм.
3.С помощью SimPowerSystem выполнить моделирование работы фильтра (для рассчитанных параметров) и получить АЧХ, ФЧХ и переходную характеристику с помощью LTI Viewer, пропустить через фильтр прямоугольные импульсы.
4.Спаять рассчитанный фильтр.
5.Измерить АЧХ по точкам с помощью аналоговых приборов (с помощью генератора и вольтметра).
6.Написать в MATLAB программу (либо в Simulink схему), генерирующую синусоидальный сигнал постоянной амплитуды с линейно меняющейся частотой (команда chirp).
7.Воспроизвести этот сигнал с помощью звуковой карты компьютера, пропустить через фильтр и записать сигнал, получившийся на выходе фильтра.
8.Выполнив обработку записанного сигнала в MATLAB, получить АЧХ.
9.Подключить генератор, переключить его в режим прямоугольных импульсов, и записать сигнал на выходе фильтра.
10.В MATLAB из записанного сигнала выделить спадающий фронт импульса. Методом наименьших квадратов определить постоянную времени цепочки и по ней граничную частоту фильтра. Сравнить полученную частоту с заданной.
11.Построить график теоретической АЧХ, на этом же графике построить АЧХ, полученную с помощью компьютерного моделирования и цифровых приборов, и на этом же графике точками нанести результаты, полученные в результате измерений аналоговыми приборами.
12.Из экспериментальных графиков получить частоту отсечки f0 и постоянную времени цепочек τ.
13.Сделать выводы по результатам работы.
16
Литература
1.Демирчян К.С., Нейман Л.Р., Коровкин Н.В. Теоретические основы электротехники. Т. 2. СПб.: Питер, 2006.
2.Яневич Ю.М., Павлейно М.А. Методы анализа линейных систем. СПб.: Изд-во СПбГУ,1996.
17